Zadanie 33: matura z matematyki maj 2016, formuła 2015
Poziom podstawowy · termin główny · 5 pkt · zadanie otwarte · Stereometria · Objętości i pola brył
Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego $ABCS$ jest trójkąt równoboczny $ABC$. Wysokość $SO$ tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa $27$. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa $ABCS$ oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.
Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Pokaż odpowiedź
Schemat: Ostrosłup prawidłowy: wysokość, objętość, pole (kąt nachylenia) · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 27, matura maj 2026, zadanie 26, matura marzec 2026, zadanie 24, matura grudzień 2024
Na maturze zdający zdobyli średnio 32% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 56%. Sprawozdanie CKE
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Niech $a$ oznacza krawędź podstawy. Wysokość ostrosłupa to $H = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, więc $V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a^3}{8} = 27$, skąd $a = 6$ i $H = 3\sqrt{3}$.
- 2.Niech $P$ będzie środkiem krawędzi $BC$. Punkt $O$ jest środkiem trójkąta równobocznego, więc $|OP| = \dfrac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
- 3.Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $POS$: $h^2 = |OP|^2 + H^2 = 3 + 27 = 30$, więc wysokość ściany bocznej $h = \sqrt{30}$.
- 4.Pole powierzchni bocznej: $P_b = 3 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{30} = 9\sqrt{30}$.
- 5.Szukany kąt $\alpha = |\angle SPO|$: $\cos\alpha = \dfrac{|OP|}{h} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{30}} = \dfrac{1}{\sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$.
- 6.$P_b = 9\sqrt{30}$, $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$.
Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE
W aplikacji każde zadanie z tematu „Objętości i pola brył” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE f15-1605-arkusz.pdf (strona 20), zasady oceniania: f15-1605-zasady.pdf.