Zadanie 25: matura z matematyki maj 2025

Poziom podstawowy · termin główny · 3 pkt · zadanie otwarte · Stereometria · Objętości i pola brył

Oblicz objętość tego stożka. Zapisz obliczenia.

Tworząca stożka ma długość $8$. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę $120^\circ$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $V = 64\pi$

Na maturze zdający zdobyli średnio 49% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 61%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny o ramionach $8$ i kącie przy wierzchołku $120^\circ$. Wysokość stożka dzieli ten kąt na połowy, więc tworząca tworzy z wysokością kąt $60^\circ$.
2.
W trójkącie prostokątnym (wysokość $H$, promień $r$, tworząca $8$): $r = 8 \sin 60^\circ = 8 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$.
3.
Wysokość: $H = 8 \cos 60^\circ = 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 4$.
4.
Objętość: $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 H = \dfrac{1}{3}\pi \cdot (4\sqrt{3})^2 \cdot 4 = \dfrac{1}{3}\pi \cdot 48 \cdot 4 = 64\pi$.
5.
Objętość stożka jest równa $64\pi$.

Odpowiedź: $V = 64\pi$

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Objętości i pola brył” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Źródło treści: arkusz CKE 2505-arkusz.pdf (strona 24), zasady oceniania: 2505-zasady.pdf.