Zadanie 26: matura z matematyki grudzień 2024

Poziom podstawowy · arkusz diagnostyczny · 2 pkt · zadanie otwarte · Stereometria · Objętości i pola brył

Zapisz obliczenia.

Objętość stożka o wysokości $2$ jest równa $8\pi$.
Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Kąt rozwarcia stożka ma miarę $120^\circ$.

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Ze wzoru na objętość stożka: $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 H$, czyli $8\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 2$.
2.
Stąd $r^2 = 12$, więc $r = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
3.
Niech $\alpha$ będzie połową kąta rozwarcia, czyli kątem między wysokością a tworzącą. W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $H$ i $r$: $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{r}{H} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
4.
Zatem $\alpha = 60^\circ$, a kąt rozwarcia to $2\alpha = 120^\circ$.
5.
Kąt rozwarcia stożka ma miarę $120^\circ$.

Odpowiedź: Kąt rozwarcia stożka ma miarę $120^\circ$.

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Objętości i pola brył” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Źródło treści: arkusz CKE 2412-arkusz.pdf (strona 24), zasady oceniania: 2412-zasady.pdf.