Zadanie 25: matura z matematyki czerwiec 2020, stara formuła
Poziom podstawowy · termin główny · 1 pkt · zadanie zamknięte · Stereometria · Objętości i pola brył
Wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź.
Dany jest stożek o objętości $18\pi$, którego przekrojem osiowym jest trójkąt $ABC$ (zobacz rysunek). Kąt $CBA$ jest kątem nachylenia tworzącej $l$ tego stożka do płaszczyzny jego podstawy. Tangens kąta $CBA$ jest równy $2$. Wynika stąd, że wysokość $h$ tego stożka jest równa
- A $12$
- B $6$
- C $4$
- D $2$
Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:
Pokaż odpowiedź
Schemat: Stożek: objętość, tworząca, kąt rozwarcia · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 25, matura maj 2025, zadanie 26, matura grudzień 2024, zadanie 25, matura czerwiec 2020, formuła 2015
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Niech $r$ będzie promieniem podstawy. W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $h$ i $r$: $\operatorname{tg}|\sphericalangle CBA| = \dfrac{h}{r} = 2$, więc $h = 2r$.
- 2.Objętość stożka: $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 2r = \dfrac{2}{3}\pi r^3$.
- 3.Z warunku $\dfrac{2}{3}\pi r^3 = 18\pi$ dostajemy $r^3 = 27$, czyli $r = 3$.
- 4.Zatem $h = 2 \cdot 3 = 6$.
- 5.Odpowiedź B.
W aplikacji każde zadanie z tematu „Objętości i pola brył” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE s-2005-arkusz.pdf (strona 12), zasady oceniania: s-2005-zasady.pdf.