Zadanie 24: matura z matematyki czerwiec 2020, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 1 pkt · zadanie zamknięte · Stereometria · Przekątne i kąty w bryłach

Wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź.

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$. Sinus kąta $\alpha$ nachylenia przekątnej $HB$ tego sześcianu do płaszczyzny podstawy $ABCD$ (zobacz rysunek) jest równy

A $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
B $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
C $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
D $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 24 z arkusza CKE, czerwiec 2020 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Schemat: Kąt nachylenia przekątnej, krawędzi lub ściany do podstawy · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 25.2, matura maj 2024, zadanie 25, matura maj 2023, zadanie 30.2, matura grudzień 2022

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Niech $a$ będzie długością krawędzi sześcianu. Rzutem przekątnej $HB$ na podstawę jest przekątna podstawy $DB$, więc $\alpha = |\sphericalangle DBH|$.
2.
Trójkąt $DBH$ jest prostokątny (kąt prosty przy $D$): przyprostokątna $|DH| = a$ leży naprzeciw kąta $\alpha$.
3.
Przekątna sześcianu ma długość $|HB| = a\sqrt{3}$.
4.
$\sin\alpha = \dfrac{|DH|}{|HB|} = \dfrac{a}{a\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
5.
Odpowiedź A.

Odpowiedź: $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Przekątne i kąty w bryłach” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Przekątne i kąty w bryłach

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 25, matura marzec 2026Dany jest sześcian ABCDEFGH (zobacz rysunek). Pole trójkąta ACH jest równe 4 3. Długość krawędzi tego sześcian…1 pkt Zadanie 31, matura maj 2025Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź BC ma długość 4 oraz suma długości wszystkic…4 pkt Zadanie 30, matura grudzień 2024Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź AE jest 3 razy dłuższa od krawędzi AB, a sum…4 pkt Zadanie 25.1, matura maj 2024Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniast…1 pkt Zadanie 25.2, matura maj 2024Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniast…1 pkt Zadanie 25, matura grudzień 2023Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 5. Wewnątrz sześcianu znajduje się punkt P (zobacz rysunek). S…1 pkt

← Zadanie 23 Zadanie 25 →

Źródło treści: arkusz CKE s-2005-arkusz.pdf (strona 12), zasady oceniania: s-2005-zasady.pdf.