Zadanie 30: matura z matematyki grudzień 2024

Poziom podstawowy · arkusz diagnostyczny · 4 pkt · zadanie otwarte · Stereometria · Przekątne i kąty w bryłach

Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie prostopadłościany $ABCDEFGH$, w których krawędź $AE$ jest $3$ razy dłuższa od krawędzi $AB$, a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa $48$ (zobacz rysunek).
Niech $P(x)$ oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości $x$ krawędzi $AB$.
Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $P$. Oblicz długość $x$ krawędzi $AB$ tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 30 z arkusza CKE, grudzień 2024 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $P(x) = -26x^2 + 96x$ dla $x \in (0, 3)$; największe pole ma prostopadłościan, w którym $x = \dfrac{24}{13}$.

Schemat: Optymalizacja i modele z funkcją kwadratową (zadanie z treścią) · pojawił się w 9 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 33.1, matura maj 2026, zadanie 33.2, matura maj 2026, zadanie 31, matura maj 2025

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Oznaczamy $|AB| = x$, więc $|AE| = 3x$. Suma krawędzi: $4x + 4|AD| + 4 \cdot 3x = 48$, czyli $x + |AD| + 3x = 12$, stąd $|AD| = 12 - 4x$.
2.
Pole powierzchni całkowitej: $P(x) = 2\left[x(12 - 4x) + x \cdot 3x + 3x(12 - 4x)\right] = 2\left(12x - 4x^2 + 3x^2 + 36x - 12x^2\right) = 2(-13x^2 + 48x) = -26x^2 + 96x$.
3.
Dziedzina: wszystkie krawędzie muszą być dodatnie: $x > 0$, $3x > 0$ oraz $12 - 4x > 0$, czyli $x < 3$. Zatem $D = (0, 3)$.
4.
Wykres $P$ to fragment paraboli o ramionach w dół (współczynnik $-26 < 0$), więc największa wartość jest w wierzchołku: $p = \dfrac{-96}{2 \cdot (-26)} = \dfrac{96}{52} = \dfrac{24}{13}$.
5.
Sprawdzamy, że $\dfrac{24}{13} \approx 1{,}85$ należy do przedziału $(0, 3)$.
6.
$P(x) = -26x^2 + 96x$, $D = (0, 3)$; pole jest największe dla $x = \dfrac{24}{13}$.

Odpowiedź: $P(x) = -26x^2 + 96x$ dla $x \in (0, 3)$; największe pole ma prostopadłościan, w którym $x = \dfrac{24}{13}$.

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 30

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Przekątne i kąty w bryłach” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Przekątne i kąty w bryłach

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 25, matura marzec 2026Dany jest sześcian ABCDEFGH (zobacz rysunek). Pole trójkąta ACH jest równe 4 3. Długość krawędzi tego sześcian…1 pkt Zadanie 31, matura maj 2025Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź BC ma długość 4 oraz suma długości wszystkic…4 pkt Zadanie 25.1, matura maj 2024Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniast…1 pkt Zadanie 25.2, matura maj 2024Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniast…1 pkt Zadanie 25, matura grudzień 2023Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 5. Wewnątrz sześcianu znajduje się punkt P (zobacz rysunek). S…1 pkt Zadanie 25, matura maj 2023Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 15. Przekątna graniastosł…1 pkt

← Zadanie 29 Cały arkusz

Źródło treści: arkusz CKE 2412-arkusz.pdf (strona 28), zasady oceniania: 2412-zasady.pdf.