Zadanie 31: matura z matematyki maj 2025

Poziom podstawowy · termin główny · 4 pkt · zadanie otwarte · Stereometria · Przekątne i kąty w bryłach

Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji $P$. Oblicz długość $x$ krawędzi $AB$ tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe. Zapisz obliczenia.

Rozważamy wszystkie prostopadłościany $ABCDEFGH$, w których krawędź $BC$ ma długość $4$ oraz suma długości wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka $B$ jest równa $15$ (zobacz rysunek). Niech $P(x)$ oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości $x$ krawędzi $AB$.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 31 z arkusza CKE, maj 2025 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $P(x) = -2x^2 + 22x + 88$ dla $x \in (0, 11)$; pole jest największe dla $x = \dfrac{11}{2}$.

Schemat: Optymalizacja i modele z funkcją kwadratową (zadanie z treścią) · pojawił się w 9 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 33.1, matura maj 2026, zadanie 33.2, matura maj 2026, zadanie 30, matura grudzień 2024

Na maturze zdający zdobyli średnio 38% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 61%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Z wierzchołka $B$ wychodzą krawędzie $AB$, $BC$ i $BF$, więc $x + 4 + |BF| = 15$, skąd $|BF| = 11 - x$.
2.
Pole powierzchni całkowitej: $P = 2(|AB| \cdot |BC| + |AB| \cdot |BF| + |BC| \cdot |BF|) = 2\left[4x + x(11 - x) + 4(11 - x)\right]$.
3.
Upraszczamy: $P(x) = 2(4x + 11x - x^2 + 44 - 4x) = 2(-x^2 + 11x + 44) = -2x^2 + 22x + 88$.
4.
Dziedzina: długości krawędzi muszą być dodatnie, czyli $x > 0$ i $11 - x > 0$, więc $D = (0, 11)$.
5.
Wykres $P$ to fragment paraboli o ramionach skierowanych w dół; pierwsza współrzędna wierzchołka: $p = \dfrac{-22}{2 \cdot (-2)} = \dfrac{11}{2} \in (0, 11)$.
6.
Największe pole ma prostopadłościan, w którym $x = \dfrac{11}{2}$.

Odpowiedź: $P(x) = -2x^2 + 22x + 88$ dla $x \in (0, 11)$; pole jest największe dla $x = \dfrac{11}{2}$.

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 31

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Przekątne i kąty w bryłach” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Przekątne i kąty w bryłach

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 25, matura marzec 2026Dany jest sześcian ABCDEFGH (zobacz rysunek). Pole trójkąta ACH jest równe 4 3. Długość krawędzi tego sześcian…1 pkt Zadanie 30, matura grudzień 2024Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź AE jest 3 razy dłuższa od krawędzi AB, a sum…4 pkt Zadanie 25.1, matura maj 2024Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniast…1 pkt Zadanie 25.2, matura maj 2024Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniast…1 pkt Zadanie 25, matura grudzień 2023Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 5. Wewnątrz sześcianu znajduje się punkt P (zobacz rysunek). S…1 pkt Zadanie 25, matura maj 2023Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 15. Przekątna graniastosł…1 pkt

← Zadanie 30 Cały arkusz

Źródło treści: arkusz CKE 2505-arkusz.pdf (strona 28), zasady oceniania: 2505-zasady.pdf.