Zadanie 30.2: matura z matematyki grudzień 2022
Poziom podstawowy · arkusz diagnostyczny · 2 pkt · zadanie otwarte · Stereometria · Przekątne i kąty w bryłach
Teoria: Przekątne i kąty w bryłach
Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $9$. Wierzchołki podstawy $ABCD$ sześcianu połączono odcinkami z punktem $W$, który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy $EFGH$. Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDW$ (zobacz rysunek).
Zapisz obliczenia.
Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.
Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:
Pokaż odpowiedź
Schemat: Kąt nachylenia przekątnej, krawędzi lub ściany do podstawy · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 25.2, matura maj 2024, zadanie 25, matura maj 2023, zadanie 26, matura maj 2023, formuła 2015
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Spodek wysokości ostrosłupa to środek $S$ kwadratu $ABCD$, a wysokość $|SW| = 9$.
- 2.Rzut krawędzi $AW$ na podstawę to $AS$ – połowa przekątnej kwadratu: $|AS| = \dfrac{9\sqrt{2}}{2}$.
- 3.Długość krawędzi bocznej: $|AW| = \sqrt{81 + \dfrac{81}{2}} = \sqrt{\dfrac{243}{2}} = \dfrac{9\sqrt{6}}{2}$.
- 4.Cosinus kąta nachylenia: $\cos \alpha = \dfrac{|AS|}{|AW|} = \dfrac{9\sqrt{2}/2}{9\sqrt{6}/2} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
- 5.Sprawdzenie: $\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{9}{9\sqrt{2}/2} = \sqrt{2}$, więc $\cos^2 \alpha = \dfrac{1}{1 + 2} = \dfrac{1}{3}$.
- 6.$\cos \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
W aplikacji każde zadanie z tematu „Przekątne i kąty w bryłach” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE 2212-arkusz.pdf (strona 28), zasady oceniania: .