Zadanie 34: matura z matematyki czerwiec 2020, formuła 2015

Poziom podstawowy · termin główny · 5 pkt · zadanie otwarte · Stereometria · Objętości i pola brył

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$, którego krawędź boczna ma długość $6$ (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy $\sqrt{7}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 34 z arkusza CKE, czerwiec 2020 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $V = \dfrac{32\sqrt{7}}{3}$

Schemat: Ostrosłup prawidłowy: wysokość, objętość, pole (kąt nachylenia) · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 27, matura maj 2026, zadanie 26, matura marzec 2026, zadanie 24, matura grudzień 2024

Na maturze zdający zdobyli średnio 21% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 52%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Niech $a$ będzie krawędzią podstawy, $h$ wysokością ostrosłupa, $O$ środkiem podstawy, a $E$ środkiem krawędzi $BC$. Kąt nachylenia ściany bocznej to kąt $SEO$, gdzie $|OE| = \dfrac{a}{2}$.
2.
Z tangensa w trójkącie $SOE$: $\dfrac{h}{\frac{a}{2}} = \sqrt{7}$, więc $h = \dfrac{a\sqrt{7}}{2}$.
3.
W trójkącie $SOC$ krawędź boczna jest przeciwprostokątną, a $|OC| = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ (połowa przekątnej podstawy). Z twierdzenia Pitagorasa: $h^2 + \dfrac{a^2}{2} = 36$.
4.
Podstawiamy $h^2 = \dfrac{7a^2}{4}$: $\dfrac{7a^2}{4} + \dfrac{2a^2}{4} = 36$, czyli $\dfrac{9a^2}{4} = 36$, więc $a^2 = 16$, $a = 4$ i $h = 2\sqrt{7}$.
5.
Objętość: $V = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 16 \cdot 2\sqrt{7} = \dfrac{32\sqrt{7}}{3}$.
6.
Objętość ostrosłupa jest równa $\dfrac{32\sqrt{7}}{3}$.

Odpowiedź: $V = \dfrac{32\sqrt{7}}{3}$

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE