Zadanie 34: matura z matematyki maj 2017, stara formuła
Poziom podstawowy · termin główny · 4 pkt · zadanie otwarte · Stereometria · Objętości i pola brył
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa $\dfrac{5\sqrt{3}}{4}$, a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe $\dfrac{15\sqrt{3}}{4}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Pokaż odpowiedź
Schemat: Ostrosłup prawidłowy: wysokość, objętość, pole (kąt nachylenia) · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 27, matura maj 2026, zadanie 26, matura marzec 2026, zadanie 24, matura grudzień 2024
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Niech $a$ będzie krawędzią podstawy, $h = \dfrac{5\sqrt{3}}{4}$ wysokością ściany bocznej. Powierzchnia boczna to trzy trójkąty: $3 \cdot \dfrac{1}{2} a h = \dfrac{15\sqrt{3}}{4}$, czyli $\dfrac{3}{2} a \cdot \dfrac{5\sqrt{3}}{4} = \dfrac{15\sqrt{3}}{4}$, skąd $a = 2$.
- 2.Spodek wysokości ostrosłupa to środek trójkąta równobocznego w podstawie. Jego odległość od krawędzi podstawy to promień okręgu wpisanego: $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
- 3.Wysokość ostrosłupa $H$, odcinek $r$ i wysokość ściany $h$ tworzą trójkąt prostokątny: $H^2 = h^2 - r^2 = \dfrac{75}{16} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{225 - 16}{48} = \dfrac{209}{48}$, więc $H = \dfrac{\sqrt{209}}{4\sqrt{3}}$.
- 4.Pole podstawy: $P_p = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$.
- 5.Objętość: $V = \dfrac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{209}}{4\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{209}}{12}$.
- 6.Objętość ostrosłupa jest równa $\dfrac{\sqrt{209}}{12}$.
Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE
W aplikacji każde zadanie z tematu „Objętości i pola brył” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE s-1705-arkusz.pdf (strona 24), zasady oceniania: s-1705-zasady.pdf.