Zadanie 34: matura z matematyki czerwiec 2020, stara formuła
Poziom podstawowy · termin główny · 5 pkt · zadanie otwarte · Stereometria · Objętości i pola brył
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny $ABCDS$, którego krawędź boczna ma długość $6$ (zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego tangens jest równy $\sqrt{7}$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:
Pokaż odpowiedź
Schemat: Ostrosłup prawidłowy: wysokość, objętość, pole (kąt nachylenia) · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 27, matura maj 2026, zadanie 26, matura marzec 2026, zadanie 24, matura grudzień 2024
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Niech $a$ będzie krawędzią podstawy, $h$ wysokością ostrosłupa, $O$ środkiem podstawy, a $E$ środkiem krawędzi $BC$. Kąt nachylenia ściany bocznej to kąt $SEO$, gdzie $|OE| = \dfrac{a}{2}$.
- 2.Z tangensa w trójkącie $SOE$: $\dfrac{h}{\frac{a}{2}} = \sqrt{7}$, więc $h = \dfrac{a\sqrt{7}}{2}$.
- 3.W trójkącie $SOC$ krawędź boczna jest przeciwprostokątną, a $|OC| = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ (połowa przekątnej podstawy). Z twierdzenia Pitagorasa: $h^2 + \dfrac{a^2}{2} = 36$.
- 4.Podstawiamy $h^2 = \dfrac{7a^2}{4}$: $\dfrac{7a^2}{4} + \dfrac{2a^2}{4} = 36$, czyli $\dfrac{9a^2}{4} = 36$, więc $a^2 = 16$, $a = 4$ i $h = 2\sqrt{7}$.
- 5.Objętość: $V = \dfrac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 16 \cdot 2\sqrt{7} = \dfrac{32\sqrt{7}}{3}$.
- 6.Objętość ostrosłupa jest równa $\dfrac{32\sqrt{7}}{3}$.
Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE
W aplikacji każde zadanie z tematu „Objętości i pola brył” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE s-2005-arkusz.pdf (strona 24), zasady oceniania: s-2005-zasady.pdf.