Zadanie 26: matura z matematyki maj 2023
Poziom podstawowy · termin główny · 4 pkt · zadanie otwarte · Stereometria · Objętości i pola brył
Zapisz obliczenia.
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$ i ma długość równą $6$ (zobacz rysunek). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:
Pokaż odpowiedź
Schemat: Ostrosłup prawidłowy: wysokość, objętość, pole (kąt nachylenia) · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 27, matura maj 2026, zadanie 26, matura marzec 2026, zadanie 24, matura grudzień 2024
Na maturze zdający zdobyli średnio 53% punktów za to zadanie (umiarkowanie trudne). Średni wynik całego arkusza: 71%. Sprawozdanie CKE
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Wysokość ostrosłupa $H$, wysokość ściany bocznej $h = 6$ i połowa krawędzi podstawy tworzą trójkąt prostokątny z kątem $30^\circ$ przy podstawie.
- 2.Z niego: $H = 6 \sin 30^\circ = 3$ oraz $\dfrac{a}{2} = 6 \cos 30^\circ = 3\sqrt{3}$, więc krawędź podstawy $a = 6\sqrt{3}$.
- 3.Pole podstawy: $P_p = a^2 = (6\sqrt{3})^2 = 108$; objętość: $V = \dfrac{1}{3} \cdot 108 \cdot 3 = 108$.
- 4.Pole jednej ściany bocznej: $\dfrac{1}{2} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 6 = 18\sqrt{3}$, więc pole boczne $P_b = 4 \cdot 18\sqrt{3} = 72\sqrt{3}$.
- 5.Pole całkowite: $P_c = P_p + P_b = 108 + 72\sqrt{3}$.
- 6.$V = 108$, $P_c = 108 + 72\sqrt{3}$.
Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE
W aplikacji każde zadanie z tematu „Objętości i pola brył” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE 2305-arkusz.pdf (strona 22), zasady oceniania: 2305-zasady.pdf.