Zadanie 19: matura z matematyki maj 2016, formuła 2015

Poziom podstawowy · termin główny · 1 pkt · zadanie zamknięte · Planimetria · Trójkąty i wielokąty foremne

Wybierz poprawną odpowiedź.

Okręgi o promieniach $3$ i $4$ są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu $4$ w punkcie $P$ przechodzi przez środek okręgu o promieniu $3$ (zobacz rysunek). Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności $P$, jest równe

A $14$
B $2\sqrt{33}$
C $4\sqrt{33}$
D $12$

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 19 z arkusza CKE, maj 2016 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $2\sqrt{33}$

Schemat: Twierdzenie Pitagorasa (wysokość, boki, cięciwa) · pojawił się w 9 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 19, matura grudzień 2024, zadanie 20, matura maj 2021, formuła 2015, zadanie 33, matura marzec 2021, formuła 2015

Na maturze zdający zdobyli średnio 60% punktów za to zadanie (umiarkowanie trudne). Średni wynik całego arkusza: 56%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Okręgi są styczne zewnętrznie, więc $|O_1O_2| = 3 + 4 = 7$. Ponadto $|O_2P| = 4$.
2.
Promień $O_2P$ jest prostopadły do stycznej, więc trójkąt $O_1PO_2$ jest prostokątny z kątem prostym przy $P$.
3.
Z twierdzenia Pitagorasa: $|O_1P| = \sqrt{7^2 - 4^2} = \sqrt{33}$.
4.
Pole: $\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{33} = 2\sqrt{33}$.
5.
Odpowiedź B.

Odpowiedź: $2\sqrt{33}$

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Trójkąty i wielokąty foremne” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Trójkąty i wielokąty foremne

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 20, matura maj 2026Na płaszczyźnie dane są cztery proste: k, l, m oraz n. Proste k oraz l są równoległe. Prosta m przecina proste…1 pkt Zadanie 24.2, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (0, -3), B = (2, 1) oraz C = (0, 2) są wierzchołkami …1 pkt Zadanie 33.2, matura maj 2026W chwili t = 0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość h, na której znajdu…1 pkt Zadanie 20, matura maj 2025W trójkącie równoramiennym ABC dane są: |AC| = |BC| = 4 i |AB| = 3. Na boku BC, między punktami B i C, wybrano…1 pkt Zadanie 19, matura grudzień 2024W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 7,5. Krótsza przekątna AC ma długość równą 6 i dzi…4 pkt Zadanie 20, matura maj 2024Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a, |LM| = b oraz a b. Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N t…1 pkt

← Zadanie 18 Zadanie 20 →

Źródło treści: arkusz CKE f15-1605-arkusz.pdf (strona 8), zasady oceniania: f15-1605-zasady.pdf.