matmaradarZaloguj sięZacznij za darmo

Trójkąty i wielokąty foremne

Matura podstawowa z matematyki · Planimetria · tier A · 44 zadania z arkuszy CKE

Trójkąty to podstawa planimetrii: suma kątów, Pitagoras, wzory na pole.

Wzory w skrócie

  • Suma kątów trójkąta: $180^\circ$; twierdzenie Pitagorasa: $a^2 + b^2 = c^2$
  • Pole: $P = \frac{1}{2}ah$, $\quad P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$
  • Trójkąt równoboczny: $h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, $\quad P = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$
  • Twierdzenie cosinusów: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$

Jak rozpoznać zadanie

Narysuj wysokość, dzieli trójkąt na dwa prostokątne, w których działa Pitagoras i trygonometria.

Przykład z rozwiązaniem

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości $8$ jest równa

  1. A $16\sqrt{3}$
  2. B $8\sqrt{3}$
  3. C $4\sqrt{2}$
  4. D $4\sqrt{3}$
Rozwiązanie
  1. 1.
    Wysokość dzieli trójkąt równoboczny na dwa trójkąty prostokątne o przeciwprostokątnej $8$ i przyprostokątnej $4$.
  2. 2.
    Z twierdzenia Pitagorasa: $h^2 = 8^2 - 4^2 = 48$.
  3. 3.
    $h = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ (zgodnie ze wzorem $h = \frac{a\sqrt3}{2}$).
Odpowiedź: D. $4\sqrt{3}$

W aplikacji dostajesz takie zadania z innymi liczbami i wpisujesz wynik każdego kroku.

Typowe błędy

Te pomyłki prowadzą do błędnych odpowiedzi w zadaniach zamkniętych z tego tematu:

  • Zapomniano o pierwiastku.
  • Suma kątów trójkąta to 180°, a nie 90°.
  • Kąt przy wierzchołku nie jest równy kątom przy podstawie (tak jest tylko w trójkącie równobocznym).
  • Kąty przy podstawie są dwa: od 180° odejmujemy oba.

Na maturze

7 z 10arkuszy z tym tematem
10zadań w arkuszach formuły 2023
1,4pkt średnio na arkusz
Atier · 2,9% punktów

Policzone z 10 arkuszy CKE formuły 2023 z lat 2022–2026 (tej formuły dotyczy matura 2027). Razem 14 pkt z tego tematu. Jak liczymy tier listę.

Co trzeba umieć wcześniej

Mapa wszystkich tematów

Ten temat jest potrzebny do

Ćwicz „Trójkąty i wielokąty foremne” w aplikacji

Lekcja z teorią, zadania krok po kroku z podpowiedziami i powtórka, zanim temat wyleci z głowy.

Zadania z arkuszy CKE z tego tematu

44 zadania z oficjalnych matur, każde z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Formuła 2023 · 10 zadań

Zadanie 20, matura maj 2026Na płaszczyźnie dane są cztery proste: k, l, m oraz n. Proste k oraz l są równoległe. Prosta m przecina proste…1 pktZadanie 24.2, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (0, -3), B = (2, 1) oraz C = (0, 2) są wierzchołkami …1 pktZadanie 33.2, matura maj 2026W chwili t = 0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość h, na której znajdu…1 pktZadanie 20, matura maj 2025W trójkącie równoramiennym ABC dane są: |AC| = |BC| = 4 i |AB| = 3. Na boku BC, między punktami B i C, wybrano…1 pktZadanie 19, matura grudzień 2024W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 7,5. Krótsza przekątna AC ma długość równą 6 i dzi…4 pktZadanie 20, matura maj 2024Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a, |LM| = b oraz a b. Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N t…1 pktZadanie 22, matura maj 2023Trójkąty prostokątne T1 i T2 są podobne. Przyprostokątne trójkąta T1 mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna …2 pktZadanie 25.1, matura grudzień 2022Dany jest sześciokąt foremny ABCDEF o polu równym 6 3 (zobacz rysunek). Pole trójkąta ABE jest równe1 pktZadanie 25.2, matura grudzień 2022Dany jest sześciokąt foremny ABCDEF o polu równym 6 3 (zobacz rysunek). Długość odcinka AE jest równa1 pktZadanie 22, matura wrzesień 2022W trójkącie ABC bok AB ma długość 4, a bok BC ma długość 4,6. Dwusieczna kąta ABC przecina bok AC w punkcie D …1 pkt

Formuła 2015 · 17 zadań

Zadanie 22, matura maj 2023, formuła 2015Dany jest trójkąt ABC, w którym |BC| = 6. Miara kąta ACB jest równa 150 (zobacz rysunek). Wysokość trójkąta AB…1 pktZadanie 33, matura maj 2023, formuła 2015Trójkąty prostokątne T1 i T2 są podobne. Przyprostokątne trójkąta T1 mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna …2 pktZadanie 19, matura maj 2022, formuła 2015Wysokość trójkąta równobocznego jest równa 6 3. Pole tego trójkąta jest równe1 pktZadanie 33, matura maj 2022, formuła 2015Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC| = |BC|. Dwusieczna kąta BAC przecina bok BC w takim punkcie…2 pktZadanie 19, matura maj 2021, formuła 2015Pole pewnego trójkąta równobocznego jest równe 4 39. Obwód tego trójkąta jest równy1 pktZadanie 20, matura maj 2021, formuła 2015W trójkącie ABC bok BC ma długość 13, a wysokość CD tego trójkąta dzieli bok AB na odcinki o długościach |AD| …1 pktZadanie 31, matura marzec 2021, formuła 2015Dany jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długości a i b. Punkt O leży na przeciwprostokątne…2 pktZadanie 33, matura marzec 2021, formuła 2015Dany jest czworokąt ABCD, w którym |BC| = |CD| = |AD| = 13 (zobacz rysunek). Przekątna BD tego czworokąta ma d…2 pktZadanie 29, matura czerwiec 2020, formuła 2015Trójkąt ABC jest równoboczny. Punkt E leży na wysokości CD tego trójkąta oraz |CE| = 3/4|CD|. Punkt F leży na …2 pktZadanie 16, matura marzec 2020, formuła 2015Dany jest trójkąt równoboczny, którego pole powierzchni jest równe 6 3. Bok tego trójkąta ma długość1 pktZadanie 29, matura marzec 2020, formuła 2015Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym | ACB| = 90 i | ABC| = 60 . Niech D oznacza punkt wspólny wysokośc…2 pktZadanie 29, matura maj 2019, formuła 2015Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek B…2 pktZadanie 29, matura maj 2018, formuła 2015Okręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego ką…2 pktZadanie 30, matura maj 2017, formuła 2015Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 26 cm, a jedna z przyprostokątnych jest o 14 cm dłuższa o…2 pktZadanie 18, matura maj 2016, formuła 2015Z odcinków o długościach: 5, 2a + 1, a - 1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że1 pktZadanie 19, matura maj 2016, formuła 2015Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechod…1 pktZadanie 32, matura maj 2016, formuła 2015Jeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50 .…4 pkt

Stara formuła · 17 zadań

Zadanie 29, matura czerwiec 2020, stara formułaTrójkąt ABC jest równoboczny. Punkt E leży na wysokości CD tego trójkąta oraz |CE| = 3/4|CD|. Punkt F leży na …2 pktZadanie 29, matura maj 2019, stara formułaDany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek B…2 pktZadanie 30, matura maj 2017, stara formułaPrzeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 26 cm, a jedna z przyprostokątnych jest o 14 cm dłuższa o…2 pktZadanie 18, matura maj 2016, stara formułaZ odcinków o długościach: 5, 2a + 1, a - 1 można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że1 pktZadanie 19, matura maj 2016, stara formułaOkręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie P przechod…1 pktZadanie 32, matura maj 2016, stara formułaJeden z kątów trójkąta jest trzy razy większy od mniejszego z dwóch pozostałych kątów, które różnią się o 50 .…4 pktZadanie 15, matura maj 2015, stara formułaW trójkącie równoramiennym ABC spełnione są warunki: |AC| = |BC|, | CAB| = 50 . Odcinek BD jest dwusieczną kąt…1 pktZadanie 16, matura sierpień 2014, stara formułaZadanie 16. (1 pkt) Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest równy 8. Wysokość tego trójkąta je…1 pktZadanie 30, matura sierpień 2014, stara formułaA B C D E F Zadanie 30. (2 pkt) Dany jest trójkąt ABC, w którym AC BC  . Na bokach AC i BC tego trójkąta obra…2 pktZadanie 34, matura maj 2014, stara formułaKąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę 30 . Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek),…4 pktZadanie 18, matura sierpień 2012, stara formułaDługość boku trójkąta równobocznego jest równa 24 3. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy1 pktZadanie 7, matura czerwiec 2012, stara formułaJeden kąt trójkąta ma miarę 54 . Z pozostałych dwóch kątów tego trójkąta jeden jest 6 razy większy od drugiego…1 pktZadanie 9, matura czerwiec 2012, stara formułaCięciwa okręgu ma długość 8 cm i jest oddalona od jego środka o 3 cm. Promień tego okręgu ma długość1 pktZadanie 11, matura czerwiec 2012, stara formułaPięciokąt ABCDE jest foremny. Wskaż trójkąt przystający do trójkąta ECD.1 pktZadanie 13, matura maj 2010, stara formułaLiczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa1 pktZadanie 16, matura maj 2010, stara formułaPodstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6, a ramię ma długość 5. Wysokość opuszczona na podstawę ma długo…1 pktZadanie 28, matura maj 2010, stara formułaTrójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt p…2 pkt