Zadanie 28: matura z matematyki maj 2010, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Trójkąty i wielokąty foremne

Trójkąty prostokątne równoramienne $ABC$ i $CDE$ są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty). Wykaż, że $|AD| = |BE|$.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 28 z arkusza CKE, maj 2010 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Trójkąty $ACD$ i $BCE$ są przystające (cecha bkb), więc $|AD| = |BE|$.

Schemat: Dowód geometryczny w trójkącie · pojawił się w 7 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 31, matura marzec 2021, formuła 2015, zadanie 29, matura czerwiec 2020, formuła 2015, zadanie 29, matura czerwiec 2020, stara formuła

Na maturze zdający zdobyli średnio 8% punktów za to zadanie (bardzo trudne). Średni wynik całego arkusza: 58.52%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Rozważamy trójkąty $ACD$ i $BCE$ (dorysowujemy odcinki $AD$ i $BE$).
2.
$|AC| = |BC|$, bo $ABC$ jest trójkątem równoramiennym o kącie prostym przy $C$; $|CD| = |CE|$, bo $CDE$ jest trójkątem równoramiennym o kącie prostym przy $C$.
3.
Kąt $ACD$ uzupełnia kąt $DCB$ do kąta prostego $ACB$: $|\angle ACD| = 90^\circ - |\angle DCB|$. Kąt $BCE$ uzupełnia ten sam kąt $DCB$ do kąta prostego $DCE$: $|\angle BCE| = 90^\circ - |\angle DCB|$. Zatem $|\angle ACD| = |\angle BCE|$.
4.
Trójkąty $ACD$ i $BCE$ mają więc po dwa równe boki i równe kąty między nimi – są przystające (cecha bok–kąt–bok).
5.
Odpowiadające sobie boki trójkątów przystających są równe, więc $|AD| = |BE|$, co kończy dowód.

Odpowiedź: Trójkąty $ACD$ i $BCE$ są przystające (cecha bkb), więc $|AD| = |BE|$.

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Trójkąty i wielokąty foremne” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Trójkąty i wielokąty foremne

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 20, matura maj 2026Na płaszczyźnie dane są cztery proste: k, l, m oraz n. Proste k oraz l są równoległe. Prosta m przecina proste…1 pkt Zadanie 24.2, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (0, -3), B = (2, 1) oraz C = (0, 2) są wierzchołkami …1 pkt Zadanie 33.2, matura maj 2026W chwili t = 0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość h, na której znajdu…1 pkt Zadanie 20, matura maj 2025W trójkącie równoramiennym ABC dane są: |AC| = |BC| = 4 i |AB| = 3. Na boku BC, między punktami B i C, wybrano…1 pkt Zadanie 19, matura grudzień 2024W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 7,5. Krótsza przekątna AC ma długość równą 6 i dzi…4 pkt Zadanie 20, matura maj 2024Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a, |LM| = b oraz a b. Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N t…1 pkt

← Zadanie 27 Zadanie 29 →

Źródło treści: arkusz CKE s-1005-arkusz.pdf (strona 11), zasady oceniania: s-1005-zasady.pdf.