Zadanie 19: matura z matematyki grudzień 2024

Poziom podstawowy · arkusz diagnostyczny · 4 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Trójkąty i wielokąty foremne

Zapisz obliczenia.

W trapezie prostokątnym $ABCD$ dłuższa podstawa $AB$ ma długość $7{,}5$. Krótsza przekątna $AC$ ma długość równą $6$ i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne (zobacz rysunek).
Oblicz pole trapezu $ABCD$.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 19 z arkusza CKE, grudzień 2024 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $P_{ABCD} = 22{,}14$

Schemat: Twierdzenie Pitagorasa (wysokość, boki, cięciwa) · pojawił się w 9 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 20, matura maj 2021, formuła 2015, zadanie 33, matura marzec 2021, formuła 2015, zadanie 30, matura maj 2017, formuła 2015

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Trójkąty $ABC$ (kąt prosty przy $C$) i $CAD$ (kąt prosty przy $D$) są podobne (cecha kąt – kąt – kąt), bo $|\angle BAC| = |\angle ACD|$ jako kąty naprzemianległe przy równoległych $AB$ i $CD$.
2.
Z podobieństwa: $\dfrac{|CD|}{|AC|} = \dfrac{|AC|}{|AB|}$, czyli $\dfrac{|CD|}{6} = \dfrac{6}{7{,}5}$, stąd $|CD| = \dfrac{36}{7{,}5} = 4{,}8$.
3.
Wysokość trapezu to $AD$. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ACD$: $|AD|^2 = 6^2 - 4{,}8^2 = 36 - 23{,}04 = 12{,}96$, więc $|AD| = 3{,}6$.
4.
Pole trapezu: $P = \dfrac{1}{2}(|AB| + |CD|) \cdot |AD| = \dfrac{1}{2}(7{,}5 + 4{,}8) \cdot 3{,}6 = 12{,}3 \cdot 1{,}8 = 22{,}14$.
5.
Pole trapezu $ABCD$ jest równe $22{,}14$.

Odpowiedź: $P_{ABCD} = 22{,}14$

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 19

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Trójkąty i wielokąty foremne” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Trójkąty i wielokąty foremne

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 20, matura maj 2026Na płaszczyźnie dane są cztery proste: k, l, m oraz n. Proste k oraz l są równoległe. Prosta m przecina proste…1 pkt Zadanie 24.2, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (0, -3), B = (2, 1) oraz C = (0, 2) są wierzchołkami …1 pkt Zadanie 33.2, matura maj 2026W chwili t = 0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość h, na której znajdu…1 pkt Zadanie 20, matura maj 2025W trójkącie równoramiennym ABC dane są: |AC| = |BC| = 4 i |AB| = 3. Na boku BC, między punktami B i C, wybrano…1 pkt Zadanie 20, matura maj 2024Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a, |LM| = b oraz a b. Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N t…1 pkt Zadanie 22, matura maj 2023Trójkąty prostokątne T1 i T2 są podobne. Przyprostokątne trójkąta T1 mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna …2 pkt

← Zadanie 18 Zadanie 20 →

Źródło treści: arkusz CKE 2412-arkusz.pdf (strona 18), zasady oceniania: 2412-zasady.pdf.