Zadanie 29: matura z matematyki czerwiec 2020, formuła 2015

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Trójkąty i wielokąty foremne

Trójkąt $ABC$ jest równoboczny. Punkt $E$ leży na wysokości $CD$ tego trójkąta oraz $|CE| = \dfrac{3}{4}|CD|$. Punkt $F$ leży na boku $BC$ i odcinek $EF$ jest prostopadły do $BC$ (zobacz rysunek). Wykaż, że $|CF| = \dfrac{9}{16}|CB|$.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 29 z arkusza CKE, czerwiec 2020 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Z podobieństwa trójkątów $CFE$ i $CDB$: $\dfrac{|CF|}{|CE|} = \dfrac{|CD|}{|CB|}$, skąd $|CF| = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{4}|CB| = \dfrac{9}{16}|CB|$.

Schemat: Dowód geometryczny w trójkącie · pojawił się w 7 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 31, matura marzec 2021, formuła 2015, zadanie 29, matura czerwiec 2020, stara formuła, zadanie 29, matura marzec 2020, formuła 2015

Na maturze zdający zdobyli średnio 16% punktów za to zadanie (bardzo trudne). Średni wynik całego arkusza: 52%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Oznaczmy długość boku trójkąta przez $a$. Wysokość trójkąta równobocznego ma długość $|CD| = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, więc $|CE| = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3a\sqrt{3}}{8}$.
2.
Wysokość $CD$ dzieli kąt $ACB$ na połowy, więc $|\angle ECF| = 30^\circ$.
3.
Trójkąt $CFE$ jest prostokątny (kąt prosty przy $F$), więc $|CF| = |CE| \cdot \cos 30^\circ$.
4.
Obliczamy: $|CF| = \dfrac{3a\sqrt{3}}{8} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{9a}{16}$.
5.
Ponieważ $|CB| = a$, otrzymujemy $|CF| = \dfrac{9}{16}|CB|$, co należało wykazać.

Odpowiedź: Z podobieństwa trójkątów $CFE$ i $CDB$: $\dfrac{|CF|}{|CE|} = \dfrac{|CD|}{|CB|}$, skąd $|CF| = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{4}|CB| = \dfrac{9}{16}|CB|$.

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 29

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Trójkąty i wielokąty foremne” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Trójkąty i wielokąty foremne

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 20, matura maj 2026Na płaszczyźnie dane są cztery proste: k, l, m oraz n. Proste k oraz l są równoległe. Prosta m przecina proste…1 pkt Zadanie 24.2, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (0, -3), B = (2, 1) oraz C = (0, 2) są wierzchołkami …1 pkt Zadanie 33.2, matura maj 2026W chwili t = 0 z poziomu ziemi wyrzucono piłeczkę pionowo do góry. Przyjmijmy, że wysokość h, na której znajdu…1 pkt Zadanie 20, matura maj 2025W trójkącie równoramiennym ABC dane są: |AC| = |BC| = 4 i |AB| = 3. Na boku BC, między punktami B i C, wybrano…1 pkt Zadanie 19, matura grudzień 2024W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 7,5. Krótsza przekątna AC ma długość równą 6 i dzi…4 pkt Zadanie 20, matura maj 2024Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a, |LM| = b oraz a b. Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N t…1 pkt

← Zadanie 28 Zadanie 30 →

Źródło treści: arkusz CKE f15-2005-arkusz.pdf (strona 17), zasady oceniania: f15-2005-zasady.pdf.