Zadanie 28: matura z matematyki czerwiec 2020, formuła 2015

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Wyrażenia algebraiczne · Dowody (podzielność, nierówności)

Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność $a(a - 2b) + 2b^2 > 0$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Lewa strona to $(a - b)^2 + b^2$, a ponieważ $a \ne b$, to $(a - b)^2 > 0$ i $b^2 \ge 0$, więc suma jest dodatnia.

Schemat: Dowód nierówności algebraicznej (sprowadzenie do kwadratu) · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 32, matura maj 2023, formuła 2015, zadanie 31, matura maj 2022, formuła 2015, zadanie 30, matura maj 2021, formuła 2015

Na maturze zdający zdobyli średnio 20% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 52%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Wymnażamy nawias: $a(a - 2b) + 2b^2 = a^2 - 2ab + 2b^2$.
2.
Rozbijamy $2b^2 = b^2 + b^2$ i grupujemy: $a^2 - 2ab + b^2 + b^2 = (a - b)^2 + b^2$.
3.
Liczby $a$ i $b$ są różne, więc $a - b \ne 0$, a zatem $(a - b)^2 > 0$.
4.
Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny: $b^2 \ge 0$.
5.
Suma liczby dodatniej i nieujemnej jest dodatnia. Zatem $a(a - 2b) + 2b^2 > 0$, co należało wykazać.

Odpowiedź: Lewa strona to $(a - b)^2 + b^2$, a ponieważ $a \ne b$, to $(a - b)^2 > 0$ i $b^2 \ge 0$, więc suma jest dodatnia.

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Źródło treści: arkusz CKE f15-2005-arkusz.pdf (strona 16), zasady oceniania: f15-2005-zasady.pdf.