Zadanie 3: matura z matematyki grudzień 2024
Poziom podstawowy · arkusz diagnostyczny · 2 pkt · zadanie otwarte · Liczby rzeczywiste · Dowody (podzielność, nierówności)
Teoria: Dowody (podzielność, nierówności)
Wykaż, że liczba $2^{100} + 4^{49} + 16^{24}$ jest podzielna przez $21$.
Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź: $2^{100} + 4^{49} + 16^{24} = 2^{96} \cdot 21$, więc liczba jest podzielna przez $21$.
Schemat: Podzielność konkretnej liczby (suma potęg, różnica kwadratów) · pojawił się w 5 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 5, matura marzec 2026, zadanie 27, matura maj 2017, formuła 2015, zadanie 27, matura maj 2017, stara formuła
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Sprowadzamy wszystkie składniki do potęg dwójki: $4^{49} = (2^2)^{49} = 2^{98}$ oraz $16^{24} = (2^4)^{24} = 2^{96}$.
- 2.Otrzymujemy sumę $2^{100} + 2^{98} + 2^{96}$.
- 3.Wyłączamy najmniejszą potęgę przed nawias: $2^{96}\left(2^4 + 2^2 + 1\right) = 2^{96}(16 + 4 + 1)$.
- 4.W nawiasie jest $21$, więc liczba jest równa $21 \cdot 2^{96}$, gdzie $2^{96}$ jest liczbą całkowitą.
- 5.Zatem liczba $2^{100} + 4^{49} + 16^{24}$ jest podzielna przez $21$.
Odpowiedź: $2^{100} + 4^{49} + 16^{24} = 2^{96} \cdot 21$, więc liczba jest podzielna przez $21$.
Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE
W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Zadanie 7, matura maj 2026Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n2 + 21n jest podzielna przez 14.2 pktZadanie 21, matura maj 2026Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a oraz |LM| = b. Dwusieczna kąta LMK przecina bok KL w punkcie N (zobac…2 pktZadanie 5, matura marzec 2026Wykaż, że liczba 25014 - 24994 jest podzielna przez 10\,000.2 pktZadanie 21, matura marzec 2026Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB| = 2 |CD|. Przekątna AC tego trapezu je…3 pktZadanie 5, matura maj 2025Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n liczba 3n2 + 2n + 7 jest podzielna przez 4.2 pktZadanie 3, matura maj 2024Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n 1 liczba n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę …2 pkt
Źródło treści: arkusz CKE 2412-arkusz.pdf (strona 5), zasady oceniania: 2412-zasady.pdf.