matmaradar
Egzamin ósmoklasistyMaturaNaukaZadania CKETematyMoje konto
Zaloguj sięZacznij za darmoZacznij

Zadanie 7: matura z matematyki maj 2026

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Liczby rzeczywiste · Dowody (podzielność, nierówności)

Teoria: Dowody (podzielność, nierówności)

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^2 + 21n$ jest podzielna przez $14$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Zadanie 7 z arkusza CKE, maj 2026 (oryginał)
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź: $7n^2 + 21n = 7n(n + 3)$, a $n(n + 3)$ jest parzyste, więc liczba dzieli się przez $14$.

Schemat: Podzielność lub reszta z dzielenia wyrażenia z n · pojawił się w 10 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 5, matura maj 2025, zadanie 3, matura maj 2024, zadanie 5, matura grudzień 2023

Na maturze zdający zdobyli średnio 41% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 59%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie
  1. 1.
    Wyłączamy wspólny czynnik: $7n^2 + 21n = 7n(n + 3)$.
  2. 2.
    Jeśli $n$ jest parzyste, to czynnik $n$ jest parzysty, więc iloczyn $n(n + 3)$ jest parzysty.
  3. 3.
    Jeśli $n$ jest nieparzyste, to $n + 3$ jest parzyste (suma dwóch liczb nieparzystych), więc $n(n + 3)$ też jest parzysty.
  4. 4.
    Zatem $n(n + 3) = 2m$ dla pewnej liczby całkowitej $m$, czyli $7n(n + 3) = 14m$.
  5. 5.
    Liczba $7n^2 + 21n$ jest podzielna przez $14$ dla każdej liczby całkowitej $n$.
Odpowiedź: $7n^2 + 21n = 7n(n + 3)$, a $n(n + 3)$ jest parzyste, więc liczba dzieli się przez $14$.
Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE
Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 7Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 7
Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozęLekcja: Dowody (podzielność, nierówności)

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 5, matura marzec 2026Wykaż, że liczba 25014 - 24994 jest podzielna przez 10\,000.2 pktZadanie 21, matura marzec 2026Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB| = 2 |CD|. Przekątna AC tego trapezu je…3 pktZadanie 5, matura maj 2025Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n liczba 3n2 + 2n + 7 jest podzielna przez 4.2 pktZadanie 3, matura grudzień 2024Wykaż, że liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.2 pktZadanie 3, matura maj 2024Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n 1 liczba n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę …2 pktZadanie 5, matura grudzień 2023Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej n liczba 3n2 + 4n + 1 jest podzielna przez 4.2 pkt
← Zadanie 6Zadanie 8 →

Źródło treści: arkusz CKE 2605-arkusz.pdf (strona 7), zasady oceniania: 2605-zasady.pdf.