Zadanie 5: matura z matematyki grudzień 2023
Poziom podstawowy · arkusz diagnostyczny · 2 pkt · zadanie otwarte · Wyrażenia algebraiczne · Dowody (podzielność, nierówności)
Teoria: Dowody (podzielność, nierówności)
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej $n$ liczba $3n^2 + 4n + 1$ jest podzielna przez $4$.
Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź: $3n^2 + 4n + 1 = (3n + 1)(n + 1)$, a dla nieparzystego $n$ oba czynniki są parzyste, więc iloczyn jest podzielny przez $4$.
Schemat: Podzielność lub reszta z dzielenia wyrażenia z n · pojawił się w 10 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 7, matura maj 2026, zadanie 5, matura maj 2025, zadanie 3, matura maj 2024
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Rozkładamy trójmian na czynniki: $3n^2 + 4n + 1 = 3n^2 + 3n + n + 1 = 3n(n + 1) + (n + 1) = (3n + 1)(n + 1)$.
- 2.Liczba $n$ jest nieparzysta, więc $n + 1$ jest parzysta.
- 3.Liczba $3n$ jest nieparzysta (iloczyn liczb nieparzystych), więc $3n + 1$ też jest parzysta.
- 4.Iloczyn dwóch liczb parzystych $2a \cdot 2b = 4ab$ jest podzielny przez $4$.
- 5.Sprawdzenie innym sposobem: dla $n = 2k + 1$ mamy $3n^2 + 4n + 1 = 12k^2 + 20k + 8 = 4(3k^2 + 5k + 2)$.
- 6.Zatem dla każdej nieparzystej liczby całkowitej $n$ liczba $3n^2 + 4n + 1$ jest podzielna przez $4$.
Odpowiedź: $3n^2 + 4n + 1 = (3n + 1)(n + 1)$, a dla nieparzystego $n$ oba czynniki są parzyste, więc iloczyn jest podzielny przez $4$.
W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Zadanie 7, matura maj 2026Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n2 + 21n jest podzielna przez 14.2 pktZadanie 21, matura maj 2026Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a oraz |LM| = b. Dwusieczna kąta LMK przecina bok KL w punkcie N (zobac…2 pktZadanie 5, matura marzec 2026Wykaż, że liczba 25014 - 24994 jest podzielna przez 10\,000.2 pktZadanie 21, matura marzec 2026Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB| = 2 |CD|. Przekątna AC tego trapezu je…3 pktZadanie 5, matura maj 2025Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n liczba 3n2 + 2n + 7 jest podzielna przez 4.2 pktZadanie 3, matura grudzień 2024Wykaż, że liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.2 pkt
Źródło treści: arkusz CKE 2312-arkusz.pdf (strona 6), zasady oceniania: .