Zadanie 21: matura z matematyki marzec 2026

Poziom podstawowy · matura próbna · 3 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Dowody (podzielność, nierówności)

Teoria: Dowody (podzielność, nierówności)

Wykaż.

Dany jest trapez równoramienny $ABCD$ o podstawach $AB$ i $CD$, w którym $|AB| = 2 \cdot |CD|$. Przekątna $AC$ tego trapezu jest zawarta w dwusiecznej kąta $DAB$.
Wykaż, że w tym trapezie miara kąta $DAB$ jest równa $60^\circ$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Zadanie 21 z arkusza CKE, marzec 2026 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Trójkąt $FBC$ (gdzie $FC \parallel AD$) jest równoboczny, więc $|\angle DAB| = |\angle ABC| = 60^\circ$.

Schemat: Dowód geometryczny (dwusieczna, trapez, stosunek pól) · pojawił się w 2 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 21, matura maj 2026

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Oznaczmy $|CD| = a$, $|AB| = 2a$ oraz $|\angle DAC| = |\angle CAB| = \alpha$ (bo $AC$ leży na dwusiecznej kąta $DAB$).
2.
Ponieważ $AB \parallel CD$, kąty $CAB$ i $ACD$ są naprzemianległe, więc $|\angle ACD| = \alpha$. Trójkąt $ACD$ ma dwa równe kąty, zatem $|AD| = |CD| = a$, a z równoramienności także $|BC| = a$.
3.
Na podstawie $AB$ wybieramy punkt $F$ tak, by $|AF| = a$. Wtedy $AFCD$ jest równoległobokiem ($AF \parallel DC$ i $|AF| = |DC|$), więc $|FC| = |AD| = a$.
4.
Ponadto $|FB| = 2a - a = a$, więc trójkąt $FBC$ ma wszystkie boki równe $a$ – jest równoboczny i $|\angle ABC| = 60^\circ$.
5.
W trapezie równoramiennym kąty przy dłuższej podstawie są równe, więc $|\angle DAB| = |\angle ABC| = 60^\circ$, co należało wykazać.

Odpowiedź: Trójkąt $FBC$ (gdzie $FC \parallel AD$) jest równoboczny, więc $|\angle DAB| = |\angle ABC| = 60^\circ$.

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 21

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Dowody (podzielność, nierówności)

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 7, matura maj 2026Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n2 + 21n jest podzielna przez 14.2 pkt Zadanie 21, matura maj 2026Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a oraz |LM| = b. Dwusieczna kąta LMK przecina bok KL w punkcie N (zobac…2 pkt Zadanie 5, matura maj 2025Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n liczba 3n2 + 2n + 7 jest podzielna przez 4.2 pkt Zadanie 3, matura grudzień 2024Wykaż, że liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.2 pkt Zadanie 3, matura maj 2024Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n 1 liczba n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę …2 pkt Zadanie 5, matura grudzień 2023Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej n liczba 3n2 + 4n + 1 jest podzielna przez 4.2 pkt

← Zadanie 20 Zadanie 22 →

Źródło treści: arkusz CKE 2601-arkusz.pdf (strona 19), zasady oceniania: 2601-zasady.pdf.