Zadanie 21: matura z matematyki maj 2026

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Dowody (podzielność, nierówności)

Teoria: Dowody (podzielność, nierówności)

Dany jest trójkąt $KLM$, w którym $|KM| = a$ oraz $|LM| = b$. Dwusieczna kąta $LMK$ przecina bok $KL$ w punkcie $N$ (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola trójkąta $KNM$ do pola trójkąta $NLM$ jest równy $\dfrac{a}{b}$.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 21 z arkusza CKE, maj 2026 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $\dfrac{P_{KNM}}{P_{NLM}} = \dfrac{\frac{1}{2} a \cdot |MN| \sin\frac{\gamma}{2}}{\frac{1}{2} b \cdot |MN| \sin\frac{\gamma}{2}} = \dfrac{a}{b}$

Schemat: Dowód geometryczny (dwusieczna, trapez, stosunek pól) · pojawił się w 2 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 21, matura marzec 2026

Na maturze zdający zdobyli średnio 27% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 59%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Oznaczmy $|\angle LMK| = \gamma$. Dwusieczna dzieli ten kąt na dwa równe kąty: $|\angle KMN| = |\angle NML| = \dfrac{\gamma}{2}$.
2.
Pole trójkąta $KNM$ liczymy ze wzoru z sinusem kąta przy $M$: $P_{KNM} = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot |MN| \cdot \sin \dfrac{\gamma}{2}$.
3.
Analogicznie: $P_{NLM} = \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot |MN| \cdot \sin \dfrac{\gamma}{2}$.
4.
Dzielimy pola; czynniki $\dfrac{1}{2}$, $|MN|$ i $\sin \dfrac{\gamma}{2}$ (różny od zera) się skracają: $\dfrac{P_{KNM}}{P_{NLM}} = \dfrac{a}{b}$.
5.
Stosunek pól trójkątów $KNM$ i $NLM$ jest równy $\dfrac{a}{b}$, co należało wykazać.

Odpowiedź: $\dfrac{P_{KNM}}{P_{NLM}} = \dfrac{\frac{1}{2} a \cdot |MN| \sin\frac{\gamma}{2}}{\frac{1}{2} b \cdot |MN| \sin\frac{\gamma}{2}} = \dfrac{a}{b}$

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 21

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Dowody (podzielność, nierówności)

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 5, matura marzec 2026Wykaż, że liczba 25014 - 24994 jest podzielna przez 10\,000.2 pkt Zadanie 21, matura marzec 2026Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB| = 2 |CD|. Przekątna AC tego trapezu je…3 pkt Zadanie 5, matura maj 2025Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n liczba 3n2 + 2n + 7 jest podzielna przez 4.2 pkt Zadanie 3, matura grudzień 2024Wykaż, że liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.2 pkt Zadanie 3, matura maj 2024Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n 1 liczba n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę …2 pkt Zadanie 5, matura grudzień 2023Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej n liczba 3n2 + 4n + 1 jest podzielna przez 4.2 pkt

← Zadanie 20 Zadanie 22 →

Źródło treści: arkusz CKE 2605-arkusz.pdf (strona 23), zasady oceniania: 2605-zasady.pdf.