Dowody (podzielność, nierówności)
Matura podstawowa z matematyki · Wyrażenia algebraiczne · tier S · 34 zadania z arkuszy CKE
W zadaniu „wykaż, że” trzeba pokazać, że teza zachodzi zawsze, a nie na przykładzie.
Wzory w skrócie
- Liczba parzysta: $2k$, nieparzysta: $2k + 1$, liczba dająca resztę $r$ z dzielenia przez $m$: $mk + r$
- Podzielność przez $m$: zapisz wyrażenie w postaci $m \cdot (\text{liczba całkowita})$
- Nierówność: przenieś wszystko na jedną stronę i pokaż, że to np. kwadrat, który jest $\ge 0$
- Na końcu napisz wniosek: „To należało wykazać”
Jak rozpoznać zadanie
Zapisz założenia wzorem (np. $n = 2k + 1$), przekształcaj wyrażenie krok po kroku i zakończ zdaniem, które powtarza tezę.
Przykład z rozwiązaniem
Zadanie 7 z matury maj 2026 (CKE, 2 pkt).
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej $n$ liczba $7n^2 + 21n$ jest podzielna przez $14$.
- 1.Wyłączamy wspólny czynnik: $7n^2 + 21n = 7n(n + 3)$.
- 2.Jeśli $n$ jest parzyste, to czynnik $n$ jest parzysty, więc iloczyn $n(n + 3)$ jest parzysty.
- 3.Jeśli $n$ jest nieparzyste, to $n + 3$ jest parzyste (suma dwóch liczb nieparzystych), więc $n(n + 3)$ też jest parzysty.
- 4.Zatem $n(n + 3) = 2m$ dla pewnej liczby całkowitej $m$, czyli $7n(n + 3) = 14m$.
- 5.Liczba $7n^2 + 21n$ jest podzielna przez $14$ dla każdej liczby całkowitej $n$.
Odpowiedź: $7n^2 + 21n = 7n(n + 3)$, a $n(n + 3)$ jest parzyste, więc liczba dzieli się przez $14$.
Na maturze
10 z 10arkuszy z tym tematem
12zadań w arkuszach formuły 2023
2,5pkt średnio na arkusz
Stier · 5,2% punktów
Policzone z 10 arkuszy CKE formuły 2023 z lat 2022–2026 (tej formuły dotyczy matura 2027). Razem 25 pkt z tego tematu. Jak liczymy tier listę.
Co trzeba umieć wcześniej
Ten temat jest potrzebny do
Na tym temacie nie stoją inne tematy matury podstawowej.
Lekcja z teorią, zadania krok po kroku z podpowiedziami i powtórka, zanim temat wyleci z głowy.
Zadania z arkuszy CKE z tego tematu
34 zadania z oficjalnych matur, każde z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.
Formuła 2023 · 12 zadań
Zadanie 7, matura maj 2026Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n2 + 21n jest podzielna przez 14.2 pktZadanie 21, matura maj 2026Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a oraz |LM| = b. Dwusieczna kąta LMK przecina bok KL w punkcie N (zobac…2 pktZadanie 5, matura marzec 2026Wykaż, że liczba 25014 - 24994 jest podzielna przez 10\,000.2 pktZadanie 21, matura marzec 2026Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB| = 2 |CD|. Przekątna AC tego trapezu je…3 pktZadanie 5, matura maj 2025Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n liczba 3n2 + 2n + 7 jest podzielna przez 4.2 pktZadanie 3, matura grudzień 2024Wykaż, że liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.2 pktZadanie 3, matura maj 2024Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n 1 liczba n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę …2 pktZadanie 5, matura grudzień 2023Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej n liczba 3n2 + 4n + 1 jest podzielna przez 4.2 pktZadanie 3, matura maj 2023Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n 1 liczba (2n + 1)2 - 1 jest podzielna przez 8.2 pktZadanie 14, matura grudzień 2022Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 5n2 + 15n jest podzielna przez 10.2 pktZadanie 26, matura wrzesień 2022Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 10n2 + 30n + 8 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3.2 pktZadanie 9, matura marzec 2022Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej n liczba n2 + 2023 jest podzielna przez 8.2 pkt
Formuła 2015 · 10 zadań
Zadanie 32, matura maj 2023, formuła 2015Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x 1 i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność x2 +…2 pktZadanie 31, matura maj 2022, formuła 2015Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b takich, że b a, spełniona jest nieró…2 pktZadanie 30, matura maj 2021, formuła 2015Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb a, b i c takich, że a < b, spełniona jest nierówność a/b < a + c/…2 pktZadanie 28, matura czerwiec 2020, formuła 2015Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność a(a - 2b) + 2b2 > 0.2 pktZadanie 28, matura marzec 2020, formuła 2015Wykaż, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność 4x + 1/x 4.2 pktZadanie 28, matura maj 2019, formuła 2015Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność 3a2 - 2ab + 3b2 0.2 pktZadanie 28, matura maj 2018, formuła 2015Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność 1/2a + 1/2b 2/a + b.2 pktZadanie 27, matura maj 2017, formuła 2015Wykaż, że liczba 42017 + 42018 + 42019 + 42020 jest podzielna przez 17.2 pktZadanie 30, matura maj 2016, formuła 2015Ciąg (an) jest określony wzorem an = 2n2 + 2n dla n 1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego cią…2 pktZadanie 27, matura maj 2015, formuła 2015Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 4x2 - …2 pkt
Stara formuła · 12 zadań
Zadanie 28, matura czerwiec 2020, stara formułaWykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność a(a - 2b) + 2b2 > 0.2 pktZadanie 28, matura maj 2019, stara formułaWykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność 3a2 - 2ab + 3b2 0.2 pktZadanie 28, matura maj 2018, stara formułaUdowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest nierówność 1/2a + 1/2b 2/a + b.2 pktZadanie 27, matura maj 2017, stara formułaWykaż, że liczba 42017 + 42018 + 42019 + 42020 jest podzielna przez 17.2 pktZadanie 30, matura maj 2016, stara formułaCiąg (an) jest określony wzorem an = 2n2 + 2n dla n 1. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego cią…2 pktZadanie 26, matura maj 2015, stara formułaWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 4x2 - …2 pktZadanie 28, matura maj 2014, stara formułaUdowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 2, ma tę własność, że reszta …2 pktZadanie 28, matura maj 2013, stara formułaUdowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że x + y + z = 0, prawdziwa jest nierówność xy…2 pktZadanie 31, matura maj 2013, stara formułaWykaż, że liczba 6100 - 2 699 + 10 698 jest podzielna przez 17.2 pktZadanie 31, matura sierpień 2012, stara formułaWykaż, że jeżeli c < 0, to trójmian kwadratowy y = x2 + bx + c ma dwa różne miejsca zerowe.2 pktZadanie 29, matura czerwiec 2012, stara formułaUzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.2 pktZadanie 30, matura maj 2010, stara formułaWykaż, że jeśli a > 0, to a2 + 1/a + 1 a + 1/2.2 pkt