Zadanie 26: matura z matematyki wrzesień 2022
Poziom podstawowy · arkusz diagnostyczny · 2 pkt · zadanie otwarte · Liczby rzeczywiste · Dowody (podzielność, nierówności)
Teoria: Dowody (podzielność, nierówności)
Wykaż.
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $10n^2 + 30n + 8$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $3$.
Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź: $10n^2 + 30n + 8 = 5(2n^2 + 6n + 1) + 3$, więc reszta z dzielenia przez $5$ jest równa $3$.
Schemat: Podzielność lub reszta z dzielenia wyrażenia z n · pojawił się w 10 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 7, matura maj 2026, zadanie 5, matura maj 2025, zadanie 3, matura maj 2024
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Rozbijamy wyraz wolny: $8 = 5 + 3$, więc $10n^2 + 30n + 8 = 10n^2 + 30n + 5 + 3$.
- 2.Z trzech pierwszych składników wyłączamy $5$: $10n^2 + 30n + 5 = 5(2n^2 + 6n + 1)$.
- 3.Dla naturalnego $n$ liczba $k = 2n^2 + 6n + 1$ jest całkowita, więc $10n^2 + 30n + 8 = 5k + 3$.
- 4.Liczba postaci $5k + 3$ daje przy dzieleniu przez $5$ resztę $3$, co należało wykazać.
- 5.Teza jest prawdziwa.
Odpowiedź: $10n^2 + 30n + 8 = 5(2n^2 + 6n + 1) + 3$, więc reszta z dzielenia przez $5$ jest równa $3$.
Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE
W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Zadanie 7, matura maj 2026Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n2 + 21n jest podzielna przez 14.2 pktZadanie 21, matura maj 2026Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a oraz |LM| = b. Dwusieczna kąta LMK przecina bok KL w punkcie N (zobac…2 pktZadanie 5, matura marzec 2026Wykaż, że liczba 25014 - 24994 jest podzielna przez 10\,000.2 pktZadanie 21, matura marzec 2026Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB| = 2 |CD|. Przekątna AC tego trapezu je…3 pktZadanie 5, matura maj 2025Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n liczba 3n2 + 2n + 7 jest podzielna przez 4.2 pktZadanie 3, matura grudzień 2024Wykaż, że liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.2 pkt
Źródło treści: arkusz CKE 2209-arkusz.pdf (strona 27), zasady oceniania: 2209-zasady.pdf.