Zadanie 3: matura z matematyki maj 2024

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Liczby rzeczywiste · Dowody (podzielność, nierówności)

Wykaż.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej $n \ge 1$ liczba $n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = 3(n^2 + 2n + 1) + 2$, więc reszta z dzielenia przez $3$ jest równa $2$.

Schemat: Podzielność lub reszta z dzielenia wyrażenia z n · pojawił się w 10 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 7, matura maj 2026, zadanie 5, matura maj 2025, zadanie 5, matura grudzień 2023

Na maturze zdający zdobyli średnio 56% punktów za to zadanie (umiarkowanie trudne). Średni wynik całego arkusza: 63%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Rozwijamy kwadraty: $n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4)$.
2.
Redukujemy wyrazy podobne: $3n^2 + 6n + 5$.
3.
Wydzielamy wielokrotność trójki: $3n^2 + 6n + 5 = 3(n^2 + 2n + 1) + 2$.
4.
Dla naturalnego $n$ liczba $n^2 + 2n + 1$ jest naturalna, więc $3(n^2 + 2n + 1)$ dzieli się przez $3$.
5.
Zatem cała liczba daje przy dzieleniu przez $3$ resztę $2$, co należało wykazać.

Odpowiedź: $n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = 3(n^2 + 2n + 1) + 2$, więc reszta z dzielenia przez $3$ jest równa $2$.

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Źródło treści: arkusz CKE 2405-arkusz.pdf (strona 5), zasady oceniania: 2405-zasady.pdf.