matmaradar
Egzamin ósmoklasistyMaturaNaukaZadania CKETematyMoje konto
Zaloguj sięZacznij za darmoZacznij

Zadanie 5: matura z matematyki maj 2025

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Liczby rzeczywiste · Dowody (podzielność, nierówności)

Teoria: Dowody (podzielność, nierówności)

Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej $n$ liczba $3n^2 + 2n + 7$ jest podzielna przez $4$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Zadanie 5 z arkusza CKE, maj 2025 (oryginał)
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź: Dla $n = 2l + 1$ mamy $3n^2 + 2n + 7 = 4(3l^2 + 4l + 3)$, czyli wielokrotność liczby $4$.

Schemat: Podzielność lub reszta z dzielenia wyrażenia z n · pojawił się w 10 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 7, matura maj 2026, zadanie 3, matura maj 2024, zadanie 5, matura grudzień 2023

Na maturze zdający zdobyli średnio 32% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 61%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie
  1. 1.
    Liczba $n$ jest nieparzysta, więc zapisujemy ją jako $n = 2l + 1$, gdzie $l$ jest liczbą całkowitą, $l \ge 0$.
  2. 2.
    Podstawiamy: $3n^2 + 2n + 7 = 3(2l + 1)^2 + 2(2l + 1) + 7$.
  3. 3.
    Rozwijamy kwadrat i mnożymy: $3(4l^2 + 4l + 1) + 4l + 2 + 7 = 12l^2 + 12l + 3 + 4l + 9$.
  4. 4.
    Porządkujemy i wyłączamy $4$ przed nawias: $12l^2 + 16l + 12 = 4(3l^2 + 4l + 3)$.
  5. 5.
    Liczba $3l^2 + 4l + 3$ jest całkowita, więc całe wyrażenie jest jej czterokrotnością. Zatem $3n^2 + 2n + 7$ jest podzielna przez $4$.
Odpowiedź: Dla $n = 2l + 1$ mamy $3n^2 + 2n + 7 = 4(3l^2 + 4l + 3)$, czyli wielokrotność liczby $4$.
Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE
Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 5Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 5
Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozęLekcja: Dowody (podzielność, nierówności)

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 7, matura maj 2026Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n2 + 21n jest podzielna przez 14.2 pktZadanie 21, matura maj 2026Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a oraz |LM| = b. Dwusieczna kąta LMK przecina bok KL w punkcie N (zobac…2 pktZadanie 5, matura marzec 2026Wykaż, że liczba 25014 - 24994 jest podzielna przez 10\,000.2 pktZadanie 21, matura marzec 2026Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB| = 2 |CD|. Przekątna AC tego trapezu je…3 pktZadanie 3, matura grudzień 2024Wykaż, że liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.2 pktZadanie 3, matura maj 2024Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n 1 liczba n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę …2 pkt
← Zadanie 4Zadanie 6 →

Źródło treści: arkusz CKE 2505-arkusz.pdf (strona 6), zasady oceniania: 2505-zasady.pdf.