Zadanie 5: matura z matematyki marzec 2026
Poziom podstawowy · matura próbna · 2 pkt · zadanie otwarte · Liczby rzeczywiste · Dowody (podzielność, nierówności)
Teoria: Dowody (podzielność, nierówności)
Wykaż.
Wykaż, że liczba $2501^4 - 2499^4$ jest podzielna przez $10\,000$.
Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź: $2501^4 - 2499^4 = 10\,000 \cdot (2501^2 + 2499^2)$, a więc liczba jest podzielna przez $10\,000$.
Schemat: Podzielność konkretnej liczby (suma potęg, różnica kwadratów) · pojawił się w 5 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 3, matura grudzień 2024, zadanie 27, matura maj 2017, formuła 2015, zadanie 27, matura maj 2017, stara formuła
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Zapisujemy czwarte potęgi jako kwadraty kwadratów: $2501^4 - 2499^4 = (2501^2)^2 - (2499^2)^2$.
- 2.Stosujemy wzór na różnicę kwadratów: $= (2501^2 - 2499^2)(2501^2 + 2499^2)$.
- 3.Pierwszy czynnik to znowu różnica kwadratów: $2501^2 - 2499^2 = (2501 - 2499)(2501 + 2499) = 2 \cdot 5000 = 10\,000$.
- 4.Otrzymujemy $2501^4 - 2499^4 = 10\,000 \cdot (2501^2 + 2499^2)$, gdzie $2501^2 + 2499^2$ jest liczbą całkowitą.
- 5.Liczba $2501^4 - 2499^4$ jest więc wielokrotnością $10\,000$, czyli jest podzielna przez $10\,000$.
Odpowiedź: $2501^4 - 2499^4 = 10\,000 \cdot (2501^2 + 2499^2)$, a więc liczba jest podzielna przez $10\,000$.
Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE
W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Zadanie 7, matura maj 2026Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n2 + 21n jest podzielna przez 14.2 pktZadanie 21, matura maj 2026Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a oraz |LM| = b. Dwusieczna kąta LMK przecina bok KL w punkcie N (zobac…2 pktZadanie 5, matura maj 2025Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n liczba 3n2 + 2n + 7 jest podzielna przez 4.2 pktZadanie 3, matura grudzień 2024Wykaż, że liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.2 pktZadanie 3, matura maj 2024Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n 1 liczba n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę …2 pktZadanie 5, matura grudzień 2023Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej n liczba 3n2 + 4n + 1 jest podzielna przez 4.2 pkt
Źródło treści: arkusz CKE 2601-arkusz.pdf (strona 6), zasady oceniania: 2601-zasady.pdf.