Zadanie 27: matura z matematyki maj 2017, stara formuła
Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Wyrażenia algebraiczne · Dowody (podzielność, nierówności)
Teoria: Dowody (podzielność, nierówności)
Wykaż, że liczba $4^{2017} + 4^{2018} + 4^{2019} + 4^{2020}$ jest podzielna przez $17$.
Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź: Dana liczba jest równa $17 \cdot 5 \cdot 4^{2017}$, więc dzieli się przez $17$.
Schemat: Podzielność konkretnej liczby (suma potęg, różnica kwadratów) · pojawił się w 5 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 5, matura marzec 2026, zadanie 3, matura grudzień 2024, zadanie 27, matura maj 2017, formuła 2015
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Każdy składnik zapisujemy jako $4^{2017}$ pomnożone przez potęgę czwórki: $4^{2018} = 4^{2017} \cdot 4$, $4^{2019} = 4^{2017} \cdot 16$, $4^{2020} = 4^{2017} \cdot 64$.
- 2.Wyłączamy $4^{2017}$ przed nawias: $4^{2017}(1 + 4 + 16 + 64) = 4^{2017} \cdot 85$.
- 3.Zauważamy, że $85 = 17 \cdot 5$, więc liczba jest równa $17 \cdot 5 \cdot 4^{2017}$.
- 4.Liczba ta jest iloczynem $17$ i liczby całkowitej $5 \cdot 4^{2017}$, zatem jest podzielna przez $17$.
Odpowiedź: Dana liczba jest równa $17 \cdot 5 \cdot 4^{2017}$, więc dzieli się przez $17$.
Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE
W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Zadanie 7, matura maj 2026Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n2 + 21n jest podzielna przez 14.2 pktZadanie 21, matura maj 2026Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a oraz |LM| = b. Dwusieczna kąta LMK przecina bok KL w punkcie N (zobac…2 pktZadanie 5, matura marzec 2026Wykaż, że liczba 25014 - 24994 jest podzielna przez 10\,000.2 pktZadanie 21, matura marzec 2026Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB| = 2 |CD|. Przekątna AC tego trapezu je…3 pktZadanie 5, matura maj 2025Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n liczba 3n2 + 2n + 7 jest podzielna przez 4.2 pktZadanie 3, matura grudzień 2024Wykaż, że liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.2 pkt
Źródło treści: arkusz CKE s-1705-arkusz.pdf (strona 17), zasady oceniania: s-1705-zasady.pdf.