Zadanie 28: matura z matematyki maj 2017, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Kąty w okręgu

Dane są dwa okręgi o środkach w punktach $P$ i $R$, styczne zewnętrznie w punkcie $C$. Prosta $AB$ jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach $A$ i $B$ oraz $|\angle APC| = \alpha$ i $|\angle ABC| = \beta$ (zobacz rysunek). Wykaż, że $\alpha = 180^\circ - 2\beta$.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 28 z arkusza CKE, maj 2017 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Kąt $PRB$ ma miarę $180^\circ - \alpha$, a z trójkąta równoramiennego $CRB$ wynika $\beta = 90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$, czyli $\alpha = 180^\circ - 2\beta$.

Schemat: Okręgi styczne · pojawił się w 4 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 29, matura maj 2018, formuła 2015, zadanie 29, matura maj 2018, stara formuła, zadanie 28, matura maj 2017, formuła 2015

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Promienie $PA$ i $RB$ są prostopadłe do stycznej $AB$, więc $PA \parallel RB$, a czworokąt $ABRP$ jest trapezem prostokątnym. Punkt $C$ leży na odcinku $PR$.
2.
Kąty $APR$ i $PRB$ leżą przy tym samym ramieniu trapezu między podstawami równoległymi, więc sumują się do $180^\circ$: $|\angle CRB| = 180^\circ - \alpha$.
3.
Trójkąt $CRB$ jest równoramienny ($|RC| = |RB|$, promienie), więc $|\angle RBC| = \dfrac{180^\circ - (180^\circ - \alpha)}{2} = \dfrac{\alpha}{2}$.
4.
Kąt $ABR$ jest prosty i składa się z kątów $ABC$ i $CBR$: $\beta + \dfrac{\alpha}{2} = 90^\circ$.
5.
Mnożąc przez $2$: $2\beta + \alpha = 180^\circ$, czyli $\alpha = 180^\circ - 2\beta$, co kończy dowód.

Odpowiedź: Kąt $PRB$ ma miarę $180^\circ - \alpha$, a z trójkąta równoramiennego $CRB$ wynika $\beta = 90^\circ - \dfrac{\alpha}{2}$, czyli $\alpha = 180^\circ - 2\beta$.

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 28

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Kąty w okręgu” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Kąty w okręgu

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 19, matura maj 2026Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Punkt B leży na krótszym łuku AC. Kąt CDA ma miarę …1 pkt Zadanie 22, matura maj 2026W okrąg O o promieniu 9 3 wpisano trójkąt równoboczny T. Bok trójkąta T ma długość ……… .1 pkt Zadanie 19, matura marzec 2026W każdym trójkącie środek okręgu wpisanego w ten trójkąt leży w punkcie przecięcia się1 pkt Zadanie 20, matura marzec 2026Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Punkt K jest punktem przecięcia cięciwy AC i średni…1 pkt Zadanie 22, matura marzec 2026Sześciokąt foremny wpisano w koło o promieniu 1 (zobacz rysunek). Pole zacieniowanej figury (części koła leżąc…1 pkt Zadanie 19, matura maj 2025Punkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Miara kąta BCA jest równa 50 (zobacz rysunek). Miara k…1 pkt

← Zadanie 27 Zadanie 29 →

Źródło treści: arkusz CKE s-1705-arkusz.pdf (strona 18), zasady oceniania: s-1705-zasady.pdf.