Kąty w okręgu
Matura podstawowa z matematyki · Planimetria · tier A · 48 zadań z arkuszy CKE
Kąty wpisane i środkowe łączy prosta zależność, wystarczy znaleźć łuk, na którym są oparte.
Wzory w skrócie
- Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku
- Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe
- Kąt wpisany oparty na półokręgu jest prosty
- Styczna jest prostopadła do promienia w punkcie styczności
Jak rozpoznać zadanie
Zaznacz na rysunku łuk, na którym oparty jest kąt, i szukaj innego kąta opartego na tym samym łuku.
Przykład z rozwiązaniem
Punkty $A$ i $B$ leżą na okręgu o środku $O$. Kąt środkowy $AOB$ ma miarę $88^\circ$. Kąt $OAB$ ma miarę
- A $92^\circ$
- B $44^\circ$
- C $46^\circ$
- D $88^\circ$
- 1.$|OA| = |OB|$, bo to promienie, więc trójkąt $AOB$ jest równoramienny i kąty przy podstawie $AB$ są równe: $|\sphericalangle OAB| = |\sphericalangle OBA| = x$.
- 2.Suma kątów trójkąta: $2x + 88^\circ = 180^\circ$, czyli $2x = 92^\circ$.
- 3.$x = 46^\circ$.
Odpowiedź: C. $46^\circ$
W aplikacji dostajesz takie zadania z innymi liczbami i wpisujesz wynik każdego kroku.
Typowe błędy
Te pomyłki prowadzą do błędnych odpowiedzi w zadaniach zamkniętych z tego tematu:
- Ten trójkąt nie musi być równoramienny, kąty ostre zwykle są różne.
- Kąty trójkąta sumują się do 180°, więc oba kąty ostre razem mają 90°.
- Kąt ACB jest oparty na półokręgu, więc jest prosty: trzeba go uwzględnić w sumie kątów trójkąta.
- Kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego nie jest równy kątowi przy wierzchołku.
Na maturze
10 z 10arkuszy z tym tematem
14zadań w arkuszach formuły 2023
1,5pkt średnio na arkusz
Atier · 3,1% punktów
Policzone z 10 arkuszy CKE formuły 2023 z lat 2022–2026 (tej formuły dotyczy matura 2027). Razem 15 pkt z tego tematu. Jak liczymy tier listę.
Co trzeba umieć wcześniej
Ten temat jest potrzebny do
Na tym temacie nie stoją inne tematy matury podstawowej.
Lekcja z teorią, zadania krok po kroku z podpowiedziami i powtórka, zanim temat wyleci z głowy.
Zadania z arkuszy CKE z tego tematu
48 zadań z oficjalnych matur, każde z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.
Formuła 2023 · 14 zadań
Zadanie 19, matura maj 2026Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Punkt B leży na krótszym łuku AC. Kąt CDA ma miarę …1 pktZadanie 22, matura maj 2026W okrąg O o promieniu 9 3 wpisano trójkąt równoboczny T. Bok trójkąta T ma długość ……… .1 pktZadanie 19, matura marzec 2026W każdym trójkącie środek okręgu wpisanego w ten trójkąt leży w punkcie przecięcia się1 pktZadanie 20, matura marzec 2026Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Punkt K jest punktem przecięcia cięciwy AC i średni…1 pktZadanie 22, matura marzec 2026Sześciokąt foremny wpisano w koło o promieniu 1 (zobacz rysunek). Pole zacieniowanej figury (części koła leżąc…1 pktZadanie 19, matura maj 2025Punkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Miara kąta BCA jest równa 50 (zobacz rysunek). Miara k…1 pktZadanie 20, matura grudzień 2024Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu 6. Miara kąta wpisanego ACB jest równa 60 (zobacz rysunek). D…1 pktZadanie 22, matura maj 2024W trójkącie ABC, wpisanym w okrąg o środku w punkcie S, kąt ACB ma miarę 42 (zobacz rysunek). Miara kąta ostre…1 pktZadanie 22, matura grudzień 2023Punkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Prosta k jest styczna do tego okręgu w punkcie A i two…1 pktZadanie 24, matura grudzień 2023Dany jest okrąg O o środku w punkcie S. Średnica AB tego okręgu przecina cięciwę CD w punkcie P (zobacz rysune…2 pktZadanie 21, matura maj 2023Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt ACO ma miarę 70 (zobacz rysunek). Miara kąta ostrego A…1 pktZadanie 19, matura grudzień 2022Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Ponadto | AOC| = 130 oraz | BOA| = 110 . Miara kąta…1 pktZadanie 20, matura wrzesień 2022Punkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt ABO ma miarę 40 , a kąt OBC ma miarę 10 (zobacz ry…1 pktZadanie 24, matura marzec 2022Punkty A oraz B leżą na okręgu o środku O. Proste k i l są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – A…1 pkt
Formuła 2015 · 17 zadań
Zadanie 23, matura maj 2024, formuła 2015W trójkącie ABC, wpisanym w okrąg o środku w punkcie S, kąt ACB ma miarę 42° (zobacz rysunek). Miara kąta ostr…1 pktZadanie 19, matura maj 2023, formuła 2015Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt ACO ma miarę 70 (zobacz rysunek). Miara kąta ostrego A…1 pktZadanie 21, matura maj 2023, formuła 2015Przez punkty A i B, leżące na okręgu o środku O, poprowadzono proste styczne do tego okręgu, przecinające się …1 pktZadanie 17, matura maj 2022, formuła 2015Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku S. Punkt D jest punktem przecięcia cięciwy AC i średnicy okręgu poprowa…1 pktZadanie 18, matura maj 2022, formuła 2015Punkty A, B, P leżą na okręgu o środku S i promieniu 6. Czworokąt ASBP jest rombem, w którym kąt ostry PAS ma …1 pktZadanie 17, matura maj 2021, formuła 2015Prosta k jest styczna w punkcie A do okręgu o środku O. Punkt B leży na tym okręgu i miara kąta AOB jest równa…1 pktZadanie 21, matura maj 2021, formuła 2015Punkty A, B, C i D leżą na okręgu o środku S. Miary kątów SBC, BCD, CDA są równe odpowiednio: | SBC| = 60 , | …1 pktZadanie 24, matura maj 2021, formuła 2015Pole figury F1 złożonej z dwóch stycznych zewnętrznie kół o promieniach 1 i 3 jest równe polu figury F2 złożon…1 pktZadanie 13, matura marzec 2021, formuła 2015Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg o środku O. Miara kąta CAO jest równa 70 (zobacz rysunek). Wtedy miara kąta A…1 pktZadanie 17, matura czerwiec 2020, formuła 2015Punkty A, B, C, D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt środkowy DOC ma miarę 118 (zobacz rysunek). Miara k…1 pktZadanie 14, matura marzec 2020, formuła 2015Na okręgu o środku w punkcie O leżą punkty A, B i C (zobacz rysunek). Kąt ABC ma miarę 121 , a kąt BOC ma miar…1 pktZadanie 14, matura maj 2019, formuła 2015Punkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek). Odcinek CD jest średnicą …1 pktZadanie 16, matura maj 2018, formuła 2015Dany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KM…1 pktZadanie 15, matura maj 2017, formuła 2015Na okręgu o środku w punkcie O leży punkt C (zobacz rysunek). Odcinek AB jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony…1 pktZadanie 28, matura maj 2017, formuła 2015Dane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R, styczne zewnętrznie w punkcie C. Prosta AB jest styczna do obu…2 pktZadanie 7, matura maj 2016, formuła 2015Punkty A, B, C, D leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara kąta BDC jest równa (na rysunku: | ASC| = …1 pktZadanie 16, matura maj 2015, formuła 2015Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 20 mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika st…1 pkt
Stara formuła · 17 zadań
Zadanie 17, matura czerwiec 2020, stara formułaPunkty A, B, C, D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt środkowy DOC ma miarę 118 (zobacz rysunek). Miara k…1 pktZadanie 14, matura maj 2019, stara formułaPunkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek). Odcinek CD jest średnicą …1 pktZadanie 16, matura maj 2018, stara formułaDany jest okrąg o środku S. Punkty K, L i M leżą na tym okręgu. Na łuku KL tego okręgu są oparte kąty KSL i KM…1 pktZadanie 29, matura maj 2018, stara formułaOkręgi o środkach odpowiednio A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego ką…2 pktZadanie 15, matura maj 2017, stara formułaNa okręgu o środku w punkcie O leży punkt C (zobacz rysunek). Odcinek AB jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony…1 pktZadanie 28, matura maj 2017, stara formułaDane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R, styczne zewnętrznie w punkcie C. Prosta AB jest styczna do obu…2 pktZadanie 7, matura maj 2016, stara formułaPunkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara kąta BDC jest równa1 pktZadanie 31, matura maj 2015, stara formułaDany jest okrąg o środku w punkcie O. Prosta KL jest styczna do tego okręgu w punkcie L, a środek O tego okręg…2 pktZadanie 17, matura sierpień 2014, stara formułaZadanie 17. (1 pkt) Punkty A, B i C leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Zaznaczony na rysunku wypukły …1 pktZadanie 17, matura maj 2014, stara formułaKąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa 4/9 długości okręgu, ma miarę1 pktZadanie 31, matura maj 2014, stara formułaŚrodek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży wewnątrz tego trójkąta (z…2 pktZadanie 15, matura maj 2013, stara formułaŚrednice AB i CD okręgu o środku S przecinają się pod kątem 50 (tak jak na rysunku). Miara kąta jest równa1 pktZadanie 32, matura maj 2013, stara formułaPunkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy większy od kąta BA…4 pktZadanie 17, matura sierpień 2012, stara formułaPunkty A, B i C leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara zaznaczonego kąta wpisanego ACB jest równa1 pktZadanie 10, matura czerwiec 2012, stara formułaPunkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany BAD ma miarę (na rysunku: | AOD| = 130 , | AOB| = 60 )1 pktZadanie 16, matura maj 2011, stara formułaPunkt O jest środkiem okręgu. Kąt wpisany ma miarę (na rysunku: | AOC| = 160 , wierzchołek B kąta leży na łuku…1 pktZadanie 18, matura maj 2010, stara formułaPunkty A, B, C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Miara zaznaczonego na rysu…1 pkt