matmaradarZaloguj się Zacznij za darmo

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Matura podstawowa z matematyki · Trygonometria · tier S · 78 zadań z arkuszy CKE

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego to stosunki boków trójkąta prostokątnego.

Wzory w skrócie

$\sin\alpha = \dfrac{a}{c}$ (naprzeciw / przeciwprostokątna), $\cos\alpha = \dfrac{b}{c}$ (przy kącie / przeciwprostokątna)
$\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{a}{b} = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
Jedynka trygonometryczna: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
$\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$; wartości dla $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ są w tablicach

Jak rozpoznać zadanie

Gdy znasz jedną funkcję, narysuj trójkąt z bokami z ułamka i policz trzeci bok z Pitagorasa.

Przykład z rozwiązaniem

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości $7$ i $24$, a przeciwprostokątna ma długość $25$. Kąt ostry $\alpha$ leży naprzeciw boku długości $7$ (rysunek). Wtedy $\sin\alpha$ jest równy

A $\dfrac{24}{25}$
B $\dfrac{7}{24}$
C $\dfrac{7}{25}$
D $\dfrac{25}{7}$

Rozwiązanie

1.
Naprzeciw kąta $\alpha$ leży bok $7$, przy kącie leży przyprostokątna $24$, a przeciwprostokątna to $25$.
2.
$\sin\alpha$ to przyprostokątna naprzeciw kąta przez przeciwprostokątną: $\sin\alpha = \dfrac{7}{25}$.

Odpowiedź: C. $\dfrac{7}{25}$

W aplikacji dostajesz takie zadania z innymi liczbami i wpisujesz wynik każdego kroku.

Typowe błędy

Te pomyłki prowadzą do błędnych odpowiedzi w zadaniach zamkniętych z tego tematu:

Odwrócono stosunek, przeciwprostokątna jest w mianowniku.
Pomylono wartości dla 30° i 60° w drugim składniku.
Pomylono wartości dla 30° i 60° w pierwszym składniku.
Pomylono wartości funkcji dla kątów 30° i 60°.

Na maturze

10 z 10arkuszy z tym tematem

24zadania w arkuszach formuły 2023

2,9pkt średnio na arkusz

Stier · 6,1% punktów

Policzone z 10 arkuszy CKE formuły 2023 z lat 2022–2026 (tej formuły dotyczy matura 2027). Razem 29 pkt z tego tematu. Jak liczymy tier listę.

Co trzeba umieć wcześniej

Trójkąty i wielokąty foremne
- Potęgi i pierwiastki

Mapa wszystkich tematów

Ten temat jest potrzebny do

Na tym temacie nie stoją inne tematy matury podstawowej.

Ćwicz „Funkcje trygonometryczne kąta ostrego” w aplikacji

Lekcja z teorią, zadania krok po kroku z podpowiedziami i powtórka, zanim temat wyleci z głowy.

Otwórz lekcję Zadania z działu „Trygonometria”

Zadania z arkuszy CKE z tego tematu

78 zadań z oficjalnych matur, każde z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Formuła 2023 · 24 zadania

Zadanie 18, matura maj 2026Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym bok AC jest przeciwprostokątną oraz |BC| = 2 i |AC| = 2 10. Oznacz…1 pkt Zadanie 23, matura maj 2026Kąt jest ostry i spełnia warunek 3 + 4 /4 = 6. Tangens kąta jest równy1 pkt Zadanie 17, matura marzec 2026Kąt o mierze jest rozwarty oraz = 1/ 3. Oblicz wartość wyrażenia 3 / tg .2 pkt Zadanie 18, matura marzec 2026Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym bok BC jest przeciwprostokątną oraz |AC| = 6. Tangens kąta BCA jes…1 pkt Zadanie 17, matura maj 2025Kąt jest ostry i spełnia warunek 3 tg = 2 . Cosinus kąta jest równy1 pkt Zadanie 18.1, matura maj 2025Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym bok BC jest przeciwprostokątną, przyprostokątna AB ma długość 6, a…1 pkt Zadanie 18.2, matura maj 2025Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym bok BC jest przeciwprostokątną, przyprostokątna AB ma długość 6, a…1 pkt Zadanie 21, matura maj 2025Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB| = 11, |BC| = 12 oraz | ABC| = 60 (zobacz rysunek). 1. Trójkąt ABC jest ró…1 pkt Zadanie 17.1, matura grudzień 2024Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |AC| = 15 i |BC| = 8. Na przyprostokątnej AB leży taki punkt D, że…1 pkt Zadanie 17.2, matura grudzień 2024Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |AC| = 15 i |BC| = 8. Na przyprostokątnej AB leży taki punkt D, że…1 pkt Zadanie 18, matura grudzień 2024Kąt o mierze jest rozwarty oraz = 34. Cosinus kąta o mierze jest równy1 pkt Zadanie 18, matura maj 2024W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) zaznaczono kąt o mierze taki, że tg = -3 oraz 90 < < 180 (zobacz…2 pkt Zadanie 19, matura maj 2024Liczba 3 20 + 2 20 20 jest równa1 pkt Zadanie 16, matura grudzień 2023Dane są dwa kąty o miarach oraz , spełniające warunki: (0 , 180 ) i tg = -2/3 oraz (0 , 180 ) i = 1/ 10. Na ry…2 pkt Zadanie 17, matura grudzień 2023Kąt jest ostry oraz = 53. Tangens kąta jest równy1 pkt Zadanie 18, matura maj 2023W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) zaznaczono kąt o wierzchołku w punkcie O = (0, 0). Jedno z ramio…1 pkt Zadanie 19, matura maj 2023Dla każdego kąta ostrego wyrażenie 4 + 2 2 jest równe1 pkt Zadanie 18, matura grudzień 2022Kąt jest ostry oraz 1/ 2 + 1/ 2 = 64/9. Wartość wyrażenia jest równa1 pkt Zadanie 24, matura grudzień 2022Dany jest trójkąt ABC, w którym |AC| = 4, |AB| = 3, BAC = 4/5. Oblicz pole trójkąta ABC.2 pkt Zadanie 18, matura wrzesień 2022Wartość wyrażenia (1 - 20 ) (1 + 20 ) - 2 20 jest równa1 pkt Zadanie 21, matura wrzesień 2022Dany jest trójkąt ABC o bokach długości 6, 7 oraz 8. Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta.2 pkt Zadanie 16, matura marzec 2022Dany jest trójkąt ABC, w którym |AB| = 6, |BC| = 5, |AC| = 10. 1. Cosinus kąta ABC jest równy (-0,65). (P/F) 2…1 pkt Zadanie 21, matura marzec 2022Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku w punkcie O i promieniu r = 8 (zobacz rysunek). Cięciwa AC ma długość…1 pkt Zadanie 22, matura marzec 2022Kąt jest ostry oraz 4 tg = 3 2 + 3 2 . Tangens kąta jest równy1 pkt

Formuła 2015 · 25 zadań

Zadanie 19, matura maj 2024, formuła 2015Liczba sin3 20° + cos2 20° ⋅sin 20° jest równa A. cos 20° B. sin 20° C. tg 20° D. sin 20° ⋅cos 20°1 pkt Zadanie 20, matura maj 2024, formuła 2015Kąt α jest ostry oraz cos α= 5 13 . Wtedy A. tg α= 12 13 B. tg α= 12 5 C. tg α= 5 12 D. tg α= 13 121 pkt Zadanie 17, matura maj 2023, formuła 2015W układzie współrzędnych zaznaczono kąt o wierzchołku w punkcie O = (0, 0). Jedno z ramion tego kąta pokrywa s…1 pkt Zadanie 18, matura maj 2023, formuła 2015Dla każdego kąta ostrego wyrażenie 4 + 2 2 jest równe1 pkt Zadanie 16, matura maj 2022, formuła 2015Liczba 12 78 + 12 78 jest równa1 pkt Zadanie 32, matura maj 2022, formuła 2015Kąt jest ostry i tg = 2. Oblicz wartość wyrażenia 2 .2 pkt Zadanie 16, matura maj 2021, formuła 2015Dla każdego kąta ostrego iloczyn /1 - 2 1 - 2 jest równy1 pkt Zadanie 18, matura maj 2021, formuła 2015Przyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC ma długość 8 oraz tg = 2/5 (zobacz rysunek). Pole tego trójkąta …1 pkt Zadanie 19, matura marzec 2021, formuła 2015Kąt jest ostry oraz = 4/5. Wtedy1 pkt Zadanie 20, matura marzec 2021, formuła 2015Dane są punkty M = (6, 0), N = (6, 8) oraz O = (0, 0). Tangens kąta ostrego MON jest równy1 pkt Zadanie 32, matura marzec 2021, formuła 2015Kąt jest ostry i + = 7/5. Oblicz wartość wyrażenia 2 .2 pkt Zadanie 19, matura czerwiec 2020, formuła 2015Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych i (zobacz rysunek). Wyrażenie 2 - jest równe1 pkt Zadanie 31, matura czerwiec 2020, formuła 2015Kąt jest ostry i spełnia warunek 2 + 3 / = 4. Oblicz tangens kąta .2 pkt Zadanie 13, matura marzec 2020, formuła 2015Kąt jest ostry i spełniona jest równość = 2 67. Stąd wynika, że1 pkt Zadanie 13, matura maj 2019, formuła 2015Sinus kąta ostrego jest równy 4/5. Wtedy1 pkt Zadanie 31, matura maj 2019, formuła 2015W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy…2 pkt Zadanie 14, matura maj 2018, formuła 2015Przyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma długość 8 (zobacz rysun…1 pkt Zadanie 14, matura maj 2017, formuła 2015Jeśli m = 50 , to1 pkt Zadanie 17, matura maj 2017, formuła 2015Obwód trójkąta ABC, przedstawionego na rysunku, jest równy (na rysunku: kąt przy wierzchołku B jest prosty, | …1 pkt Zadanie 18, matura maj 2017, formuła 2015Na rysunku przedstawiona jest prosta k, przechodząca przez punkt A = (2, -3) i przez początek układu współrzęd…1 pkt Zadanie 13, matura maj 2016, formuła 2015W okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB, która utworzyła z promieniem AS kąt o mierze 31 (zobacz…1 pkt Zadanie 17, matura maj 2016, formuła 2015Kąt jest ostry i tg = 2/3. Wtedy1 pkt Zadanie 14, matura maj 2015, formuła 2015Tangens kąta zaznaczonego na rysunku jest równy (na rysunku P = (-4, 5))1 pkt Zadanie 15, matura maj 2015, formuła 2015Jeżeli 0 < < 90 oraz tg = 2 , to1 pkt Zadanie 17, matura maj 2015, formuła 2015Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę . Wtedy1 pkt

Stara formuła · 29 zadań

Zadanie 19, matura czerwiec 2020, stara formułaDany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych i (zobacz rysunek). Wyrażenie 2 - jest równe1 pkt Zadanie 31, matura czerwiec 2020, stara formułaKąt jest ostry i spełnia warunek 2 + 3 / = 4. Oblicz tangens kąta .2 pkt Zadanie 13, matura maj 2019, stara formułaSinus kąta ostrego jest równy 4/5. Wtedy1 pkt Zadanie 14, matura maj 2018, stara formułaPrzyprostokątna LM trójkąta prostokątnego KLM ma długość 3, a przeciwprostokątna KL ma długość 8 (zobacz rysun…1 pkt Zadanie 14, matura maj 2017, stara formułaJeśli m = 50 , to1 pkt Zadanie 17, matura maj 2017, stara formułaObwód trójkąta ABC, przedstawionego na rysunku, jest równy1 pkt Zadanie 13, matura maj 2016, stara formułaW okręgu o środku w punkcie S poprowadzono cięciwę AB, która utworzyła z promieniem AS kąt o mierze 31 (zobacz…1 pkt Zadanie 17, matura maj 2016, stara formułaKąt jest ostry i tg = 2/3. Wtedy1 pkt Zadanie 28, matura maj 2016, stara formułaKąt jest ostry i ( + )2 = 3/2. Oblicz wartość wyrażenia .2 pkt Zadanie 13, matura maj 2015, stara formułaDrabinę o długości 4 metrów oparto o pionowy mur, a jej podstawę umieszczono w odległości 1,30 m od tego muru …1 pkt Zadanie 14, matura maj 2015, stara formułaKąt jest ostry i = 2/5. Wówczas jest równy1 pkt Zadanie 15, matura sierpień 2014, stara formułaZadanie 15. (1 pkt) Kąt  jest ostry i spełniona jest równość 3tg 2  . Wtedy wartość wyrażenia sin cos   …1 pkt Zadanie 29, matura sierpień 2014, stara formułaZadanie 29. (2 pkt) Kąt  jest ostry oraz 2 2 4 4 25 sin cos     . Oblicz wartość wyrażenia sin cos    …2 pkt Zadanie 14, matura maj 2014, stara formułaJeżeli jest kątem ostrym oraz tg = 2/5, to wartość wyrażenia 3 - 2 / - 5 jest równa1 pkt Zadanie 14, matura maj 2013, stara formułaKąt jest ostry i = 32. Wartość wyrażenia 2 - 2 jest równa1 pkt Zadanie 27, matura maj 2013, stara formułaKąt jest ostry i = 32. Oblicz wartość wyrażenia 2 - 3 2 .2 pkt Zadanie 14, matura sierpień 2012, stara formułaKąt jest ostry i = 7/13. Wtedy tg jest równy1 pkt Zadanie 15, matura sierpień 2012, stara formułaW trójkącie prostokątnym dane są długości boków (zobacz rysunek). Wtedy1 pkt Zadanie 29, matura sierpień 2012, stara formułaW trójkącie równoramiennym ABC dane są |AC| = |BC| = 6 i | ACB| = 30 (zobacz rysunek). Oblicz wysokość AD trój…2 pkt Zadanie 8, matura czerwiec 2012, stara formułaKrótszy bok prostokąta ma długość 6. Kąt między przekątną prostokąta i dłuższym bokiem ma miarę 30 . Dłuższy b…1 pkt Zadanie 16, matura czerwiec 2012, stara formułaKąt jest ostry i tg = 1. Wówczas1 pkt Zadanie 27, matura czerwiec 2012, stara formułaPodstawy trapezu prostokątnego mają długości 6 i 10 oraz tangens jego kąta ostrego jest równy 3. Oblicz pole t…2 pkt Zadanie 28, matura czerwiec 2012, stara formułaUzasadnij, że jeżeli jest kątem ostrym, to 4 + 2 = 2 + 4 .2 pkt Zadanie 13, matura maj 2011, stara formułaKąt jest ostry i = 5/13. Wtedy1 pkt Zadanie 14, matura maj 2011, stara formułaWartość wyrażenia 2 38 + 2 38 - 1/ 2 52 + 2 52 + 1 jest równa1 pkt Zadanie 28, matura maj 2011, stara formułaKąt jest ostry i / + / = 2. Oblicz wartość wyrażenia .2 pkt Zadanie 14, matura maj 2010, stara formułaKąt jest ostry i = 3/4. Wartość wyrażenia 2 - 2 jest równa1 pkt Zadanie 19, matura maj 2010, stara formułaLatawiec ma wymiary podane na rysunku. Powierzchnia zacieniowanego trójkąta jest równa (na rysunku: zacieniowa…1 pkt Zadanie 29, matura maj 2010, stara formułaKąt jest ostry i tg = 5/12. Oblicz .2 pkt

← Ciąg geometryczny Kąty w okręgu →