Zadanie 31: matura z matematyki maj 2019, formuła 2015

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Trygonometria · Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Teoria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Zapisz obliczenia.

W trapezie prostokątnym $ABCD$ dłuższa podstawa $AB$ ma długość $8$. Przekątna $AC$ tego trapezu ma długość $4$ i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze $30^\circ$ (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej $BD$ tego trapezu.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 31 z arkusza CKE, maj 2019 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $|BD| = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$

Schemat: Trapez: wysokość, ramię, pole, obwód · pojawił się w 8 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 26, matura grudzień 2022, zadanie 23, matura marzec 2021, formuła 2015, zadanie 31, matura maj 2019, stara formuła

Na maturze zdający zdobyli średnio 59% punktów za to zadanie (umiarkowanie trudne). Średni wynik całego arkusza: 58%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Trójkąt $ACD$ jest prostokątny (kąt prosty przy $D$), a $|\angle ACD| = 30^\circ$, więc $|AD| = |AC| \cdot \sin 30^\circ = 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 2$.
2.
$AD$ jest wysokością trapezu i ramieniem prostopadłym do podstaw, więc trójkąt $ABD$ jest prostokątny z kątem prostym przy $A$.
3.
Z twierdzenia Pitagorasa: $|BD|^2 = |AD|^2 + |AB|^2 = 4 + 64 = 68$.
4.
$|BD| = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$.

Odpowiedź: $|BD| = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 31

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Funkcje trygonometryczne kąta ostrego” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 18, matura maj 2026Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym bok AC jest przeciwprostokątną oraz |BC| = 2 i |AC| = 2 10. Oznacz…1 pkt Zadanie 23, matura maj 2026Kąt jest ostry i spełnia warunek 3 + 4 /4 = 6. Tangens kąta jest równy1 pkt Zadanie 17, matura marzec 2026Kąt o mierze jest rozwarty oraz = 1/ 3. Oblicz wartość wyrażenia 3 / tg .2 pkt Zadanie 18, matura marzec 2026Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym bok BC jest przeciwprostokątną oraz |AC| = 6. Tangens kąta BCA jes…1 pkt Zadanie 17, matura maj 2025Kąt jest ostry i spełnia warunek 3 tg = 2 . Cosinus kąta jest równy1 pkt Zadanie 18.1, matura maj 2025Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym bok BC jest przeciwprostokątną, przyprostokątna AB ma długość 6, a…1 pkt

← Zadanie 30 Zadanie 32 →

Źródło treści: arkusz CKE f15-1905-arkusz.pdf (strona 19), zasady oceniania: f15-1905-zasady.pdf.