Zadanie 17: matura z matematyki marzec 2026

Poziom podstawowy · matura próbna · 2 pkt · zadanie otwarte · Trygonometria · Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Zapisz obliczenia.

Kąt o mierze $\alpha$ jest rozwarty oraz $\sin\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{3\sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha}$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $\dfrac{3\sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha} = -\sqrt{6}$

Schemat: Wartość wyrażenia trygonometrycznego (jedynka, tożsamości, kąty dopełniające) · pojawił się w 17 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 19, matura maj 2024, zadanie 19, matura maj 2023, zadanie 18, matura grudzień 2022

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Upraszczamy wyrażenie: $\dfrac{3\sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha} = 3\sin\alpha \cdot \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = 3\cos\alpha$.
2.
Z jedynki trygonometrycznej: $\cos^2\alpha = 1 - \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.
3.
Kąt jest rozwarty, więc $\cos\alpha < 0$: $\cos\alpha = -\sqrt{\dfrac{2}{3}} = -\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
4.
$3\cos\alpha = 3 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right) = -\sqrt{6}$.

Odpowiedź: $\dfrac{3\sin\alpha}{\operatorname{tg}\alpha} = -\sqrt{6}$

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Funkcje trygonometryczne kąta ostrego” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Źródło treści: arkusz CKE 2601-arkusz.pdf (strona 16), zasady oceniania: 2601-zasady.pdf.