Zadanie 31: matura z matematyki maj 2019, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Czworokąty, podobieństwo, Tales

W trapezie prostokątnym $ABCD$ dłuższa podstawa $AB$ ma długość $8$. Przekątna $AC$ tego trapezu ma długość $4$ i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze $30^\circ$ (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej $BD$ tego trapezu.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 31 z arkusza CKE, maj 2019 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $|BD| = 2\sqrt{17}$

Schemat: Trapez: wysokość, ramię, pole, obwód · pojawił się w 8 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 26, matura grudzień 2022, zadanie 23, matura marzec 2021, formuła 2015, zadanie 31, matura maj 2019, formuła 2015

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Trójkąt $ACD$ jest prostokątny (kąt prosty przy $D$), a $|\angle ACD| = 30^\circ$.
2.
Wysokość trapezu to $|AD| = |AC| \cdot \sin 30^\circ = 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 2$.
3.
Trójkąt $ABD$ jest prostokątny z kątem prostym przy $A$, więc z twierdzenia Pitagorasa $|BD|^2 = 8^2 + 2^2 = 68$.
4.
$|BD| = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$.
5.
Przekątna $BD$ ma długość $2\sqrt{17}$.

Odpowiedź: $|BD| = 2\sqrt{17}$

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 31

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Czworokąty, podobieństwo, Tales” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Czworokąty, podobieństwo, Tales

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 27, matura marzec 2026Pole powierzchni całkowitej walca C1 jest równe 12 , a objętość tego walca jest równa 4 . Walec C2 jest podobn…1 pkt Zadanie 21, matura maj 2024Dany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 120 . Pole tego równoległobo…1 pkt Zadanie 23, matura grudzień 2023W rombie ABCD dłuższa przekątna AC ma długość 12 i tworzy z bokiem AB kąt o mierze 30 (zobacz rysunek). Pole r…1 pkt Zadanie 20, matura maj 2023W rombie o boku długości 6 2 kąt rozwarty ma miarę 150 . Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy1 pkt Zadanie 21, matura grudzień 2022Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 8. Z wierzchołka A zakreślono koło o promieniu równym długości boku kwa…1 pkt Zadanie 22, matura grudzień 2022Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie O. Ponadto |AD| = 4 i |OD| = |BC| = 6. Kąty ODA i BCO są proste (zoba…1 pkt

← Zadanie 30 Zadanie 32 →

Źródło treści: arkusz CKE s-1905-arkusz.pdf (strona 19), zasady oceniania: s-1905-zasady.pdf.