matmaradarZaloguj się Zacznij za darmo

Czworokąty, podobieństwo, Tales

Matura podstawowa z matematyki · Planimetria · tier B · 47 zadań z arkuszy CKE

Czworokąty i podobieństwo: wzory na pola i proporcje boków.

Wzory w skrócie

Równoległobok: $P = ah$; romb: $P = \frac{1}{2}d_1 d_2$; trapez: $P = \frac{a+b}{2}h$
Figury podobne w skali $k$: boki $k$ razy, pola $k^2$ razy większe
Twierdzenie Talesa: odcinki na ramionach kąta przecięte prostymi równoległymi są proporcjonalne

Jak rozpoznać zadanie

Przy podobieństwie wypisz pary odpowiadających sobie boków i ułóż jedną proporcję.

Przykład z rozwiązaniem

Trapez równoramienny ma podstawy długości $26$ i $10$ oraz ramiona długości $10$. Pole tego trapezu jest równe

A $180$
B $216$
C $108$
D $156$

Rozwiązanie

1.
Opuszczamy wysokości z końców krótszej podstawy. Odcinają one na dłuższej podstawie dwa równe odcinki.
2.
Każdy z nich ma długość $\dfrac{26 - 10}{2} = 8$.
3.
Z twierdzenia Pitagorasa (ramię $10$ jest przeciwprostokątną): $h^2 = 10^2 - 8^2 = 36$, więc $h = 6$.
4.
$P = \dfrac{a + b}{2}\cdot h = \dfrac{26 + 10}{2}\cdot 6 = 108$.

Odpowiedź: C. $108$

W aplikacji dostajesz takie zadania z innymi liczbami i wpisujesz wynik każdego kroku.

Typowe błędy

Te pomyłki prowadzą do błędnych odpowiedzi w zadaniach zamkniętych z tego tematu:

We wzorze na pole trapezu jest czynnik ½ (średnia podstaw).
Pole trapezu to średnia obu podstaw razy wysokość, a nie dłuższa podstawa razy wysokość.
Ramię nie jest wysokością, wysokość trzeba policzyć z twierdzenia Pitagorasa.
Odwrócono skalę: k to stosunek boku KLMN do odpowiadającego mu boku ABCD.

Na maturze

6 z 10arkuszy z tym tematem

10zadań w arkuszach formuły 2023

1,1pkt średnio na arkusz

Btier · 2,3% punktów

Policzone z 10 arkuszy CKE formuły 2023 z lat 2022–2026 (tej formuły dotyczy matura 2027). Razem 11 pkt z tego tematu. Jak liczymy tier listę.

Co trzeba umieć wcześniej

Trójkąty i wielokąty foremne
- Potęgi i pierwiastki

Mapa wszystkich tematów

Ten temat jest potrzebny do

Na tym temacie nie stoją inne tematy matury podstawowej.

Ćwicz „Czworokąty, podobieństwo, Tales” w aplikacji

Lekcja z teorią, zadania krok po kroku z podpowiedziami i powtórka, zanim temat wyleci z głowy.

Otwórz lekcję Zadania z działu „Planimetria”

Zadania z arkuszy CKE z tego tematu

47 zadań z oficjalnych matur, każde z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.

Formuła 2023 · 10 zadań

Zadanie 27, matura marzec 2026Pole powierzchni całkowitej walca C1 jest równe 12 , a objętość tego walca jest równa 4 . Walec C2 jest podobn…1 pkt Zadanie 21, matura maj 2024Dany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 120 . Pole tego równoległobo…1 pkt Zadanie 23, matura grudzień 2023W rombie ABCD dłuższa przekątna AC ma długość 12 i tworzy z bokiem AB kąt o mierze 30 (zobacz rysunek). Pole r…1 pkt Zadanie 20, matura maj 2023W rombie o boku długości 6 2 kąt rozwarty ma miarę 150 . Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy1 pkt Zadanie 21, matura grudzień 2022Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 8. Z wierzchołka A zakreślono koło o promieniu równym długości boku kwa…1 pkt Zadanie 22, matura grudzień 2022Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie O. Ponadto |AD| = 4 i |OD| = |BC| = 6. Kąty ODA i BCO są proste (zoba…1 pkt Zadanie 23, matura grudzień 2022Przekątne równoległoboku ABCD mają długości: |AC| = 16 oraz |BD| = 12. Wierzchołki E, F, G oraz H rombu EFGH l…2 pkt Zadanie 26, matura grudzień 2022Dany jest trapez ABCD, w którym AB CD oraz przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O (zobacz rysunek). Wyso…1 pkt Zadanie 18, matura marzec 2022Odcinki AD i BC przecinają się w punkcie O. W trójkątach ABO i ODC zachodzą związki: |AO| = 5, |BO| = 3, |OC| …1 pkt Zadanie 23, matura marzec 2022Dane są dwa trójkąty podobne ABC i KLM o polach równych – odpowiednio – P oraz 2P. Obwód trójkąta ABC jest rów…1 pkt

Formuła 2015 · 17 zadań

Zadanie 20, matura maj 2023, formuła 2015W rombie o boku długości 6 2 kąt rozwarty ma miarę 150 . Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy1 pkt Zadanie 20, matura maj 2022, formuła 2015Boki równoległoboku mają długości 6 i 10, a kąt rozwarty między tymi bokami ma miarę 120 . Pole tego równoległ…1 pkt Zadanie 22, matura maj 2021, formuła 2015W równoległoboku ABCD, przedstawionym na rysunku, kąt ma miarę 70 . Wtedy kąt ma miarę1 pkt Zadanie 33, matura maj 2021, formuła 2015Trójkąt równoboczny ABC ma pole równe 9 3. Prosta równoległa do boku BC przecina boki AB i AC – odpowiednio – …2 pkt Zadanie 16, matura marzec 2021, formuła 2015W romb o boku 2 3 i kącie 60 wpisano okrąg. Promień tego okręgu jest równy1 pkt Zadanie 17, matura marzec 2021, formuła 2015Przez punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego ABC poprowadzono prostą DE równoległą do podstawy AB (…1 pkt Zadanie 23, matura marzec 2021, formuła 2015W trapezie równoramiennym ABCD podstawy AB i CD mają długości równe odpowiednio a i b (przy czym a > b). Miara…1 pkt Zadanie 22, matura czerwiec 2020, formuła 2015Pole prostokąta ABCD jest równe 90. Na bokach AB i CD wybrano – odpowiednio – punkty P i R, takie, że |AP|/|PB…1 pkt Zadanie 15, matura marzec 2020, formuła 2015W trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AC. Odcinek DE jest równoległy do boku AB, a p…1 pkt Zadanie 15, matura maj 2019, formuła 2015Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie P i promieniu 3. Od…1 pkt Zadanie 16, matura maj 2019, formuła 2015Dany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150 . Pole tego rombu jest równe1 pkt Zadanie 15, matura maj 2018, formuła 2015Dany jest trójkąt o bokach długości: 2 5, 3 5, 4 5. Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego …1 pkt Zadanie 17, matura maj 2018, formuła 2015Dany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości |KL| = a, |MN| = b, a > b. Kąt KLM ma miarę …1 pkt Zadanie 16, matura maj 2017, formuła 2015W trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AB. Odcinek DE jest równoległy do boku AC, a p…1 pkt Zadanie 16, matura maj 2016, formuła 2015Przedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość (na rysunku: w trójkąci…1 pkt Zadanie 29, matura maj 2016, formuła 2015Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i G.…2 pkt Zadanie 28, matura maj 2015, formuła 2015Dany jest kwadrat ABCD. Przekątne AC i BD przecinają się w punkcie E. Punkty K i M są środkami odcinków – odpo…2 pkt

Stara formuła · 20 zadań

Zadanie 22, matura czerwiec 2020, stara formułaPole prostokąta ABCD jest równe 90. Na bokach AB i CD wybrano – odpowiednio – punkty P i R, takie, że |AP|/|PB…1 pkt Zadanie 15, matura maj 2019, stara formułaDane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie P i promieniu 3. Od…1 pkt Zadanie 16, matura maj 2019, stara formułaDany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150 . Pole tego rombu jest równe1 pkt Zadanie 31, matura maj 2019, stara formułaW trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu ma długość 4 i tworzy…2 pkt Zadanie 15, matura maj 2018, stara formułaDany jest trójkąt o bokach długości: 2 5, 3 5, 4 5. Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego …1 pkt Zadanie 17, matura maj 2018, stara formułaDany jest trapez prostokątny KLMN, którego podstawy mają długości |KL| = a, |MN| = b, a > b. Kąt KLM ma miarę …1 pkt Zadanie 16, matura maj 2017, stara formułaW trójkącie ABC punkt D leży na boku BC, a punkt E leży na boku AB. Odcinek DE jest równoległy do boku AC, a p…1 pkt Zadanie 16, matura maj 2016, stara formułaPrzedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość1 pkt Zadanie 29, matura maj 2016, stara formułaDany jest trójkąt prostokątny ABC. Na przyprostokątnych AC i AB tego trójkąta obrano odpowiednio punkty D i G.…2 pkt Zadanie 16, matura maj 2015, stara formułaPrzedstawione na rysunku trójkąty są podobne. W mniejszym trójkącie boki przy kącie mają długości 4 i 12 (bok …1 pkt Zadanie 12, matura maj 2014, stara formułaJeżeli trójkąty ABC i A'B'C' są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25\ cm2 i 50\ cm2, to skala podobie…1 pkt Zadanie 16, matura maj 2014, stara formułaWysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym 60 i ramieniu długości 2 3 jest równa1 pkt Zadanie 16, matura sierpień 2012, stara formułaPrzekątna AC prostokąta ABCD ma długość 14. Bok AB tego prostokąta ma długość 6. Długość boku BC jest równa1 pkt Zadanie 30, matura sierpień 2012, stara formułaDany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu przekątnej AC wybrano punkt E tak, że |CE| = 1/2|AC| (zobacz rys…2 pkt Zadanie 31, matura czerwiec 2012, stara formułaDany jest romb, którego kąt ostry ma miarę 45 , a jego pole jest równe 50 2. Oblicz wysokość tego rombu.2 pkt Zadanie 17, matura maj 2011, stara formułaWysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60 jest równa1 pkt Zadanie 29, matura maj 2011, stara formułaDany jest czworokąt ABCD, w którym AB CD. Na boku BC wybrano taki punkt E, że |EC| = |CD| i |EB| = |BA|. Wykaż…2 pkt Zadanie 15, matura maj 2010, stara formułaOkrąg opisany na kwadracie ma promień 4. Długość boku tego kwadratu jest równa1 pkt Zadanie 17, matura maj 2010, stara formułaOdcinki AB i DE są równoległe. Długości odcinków CD, DE i AB są odpowiednio równe 1, 3 i 9. Długość odcinka AD…1 pkt Zadanie 31, matura maj 2010, stara formułaW trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa pods…2 pkt

← Trójkąty i wielokąty foremne Punkty i odcinki w układzie współrzędnych →