Zadanie 29: matura z matematyki maj 2016, formuła 2015

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Czworokąty, podobieństwo, Tales

Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$. Na przyprostokątnych $AC$ i $AB$ tego trójkąta obrano odpowiednio punkty $D$ i $G$. Na przeciwprostokątnej $BC$ wyznaczono punkty $E$ i $F$ takie, że $|\angle DEC| = |\angle BGF| = 90^\circ$ (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt $CDE$ jest podobny do trójkąta $FBG$.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 29 z arkusza CKE, maj 2016 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: Oba trójkąty mają kąt prosty oraz kąty ostre $90^\circ - \alpha$ i $\alpha$, gdzie $\alpha = |\angle ACB|$, więc są podobne (cecha kkk).

Schemat: Dowód geometryczny w czworokącie · pojawił się w 5 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 29, matura maj 2016, stara formuła, zadanie 28, matura maj 2015, formuła 2015, zadanie 30, matura sierpień 2012, stara formuła

Na maturze zdający zdobyli średnio 30% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 56%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Oznaczmy $\alpha = |\angle ACB|$. Kąt przy $A$ jest prosty, więc $|\angle ABC| = 90^\circ - \alpha$.
2.
Trójkąt $CDE$ jest prostokątny ($|\angle DEC| = 90^\circ$), a jego kąt przy $C$ to $\alpha$, więc $|\angle CDE| = 90^\circ - \alpha$.
3.
Trójkąt $FBG$ jest prostokątny ($|\angle BGF| = 90^\circ$), a jego kąt przy $B$ to $90^\circ - \alpha$, więc $|\angle BFG| = \alpha$.
4.
Oba trójkąty mają kąty $90^\circ$, $\alpha$ i $90^\circ - \alpha$: $|\angle DEC| = |\angle BGF|$, $|\angle DCE| = |\angle BFG|$, $|\angle CDE| = |\angle FBG|$.
5.
Z cechy kkk trójkąt $CDE$ jest podobny do trójkąta $FBG$.

Odpowiedź: Oba trójkąty mają kąt prosty oraz kąty ostre $90^\circ - \alpha$ i $\alpha$, gdzie $\alpha = |\angle ACB|$, więc są podobne (cecha kkk).

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 29

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Czworokąty, podobieństwo, Tales” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Czworokąty, podobieństwo, Tales

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 27, matura marzec 2026Pole powierzchni całkowitej walca C1 jest równe 12 , a objętość tego walca jest równa 4 . Walec C2 jest podobn…1 pkt Zadanie 21, matura maj 2024Dany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 120 . Pole tego równoległobo…1 pkt Zadanie 23, matura grudzień 2023W rombie ABCD dłuższa przekątna AC ma długość 12 i tworzy z bokiem AB kąt o mierze 30 (zobacz rysunek). Pole r…1 pkt Zadanie 20, matura maj 2023W rombie o boku długości 6 2 kąt rozwarty ma miarę 150 . Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy1 pkt Zadanie 21, matura grudzień 2022Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 8. Z wierzchołka A zakreślono koło o promieniu równym długości boku kwa…1 pkt Zadanie 22, matura grudzień 2022Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie O. Ponadto |AD| = 4 i |OD| = |BC| = 6. Kąty ODA i BCO są proste (zoba…1 pkt

← Zadanie 28 Zadanie 30 →

Źródło treści: arkusz CKE f15-1605-arkusz.pdf (strona 15), zasady oceniania: f15-1605-zasady.pdf.