Zadanie 30: matura z matematyki maj 2016, formuła 2015

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Wyrażenia algebraiczne · Dowody (podzielność, nierówności)

Teoria: Dowody (podzielność, nierówności)

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n = 2n^2 + 2n$ dla $n \ge 1$. Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Zadanie 30 z arkusza CKE, maj 2016 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $a_n + a_{n+1} = 4n^2 + 8n + 4 = (2n + 2)^2$, a $2n + 2$ jest liczbą naturalną.

Schemat: Inne dowody algebraiczne (ciągi, trójmian kwadratowy) · pojawił się w 3 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 30, matura maj 2016, stara formuła, zadanie 31, matura sierpień 2012, stara formuła

Na maturze zdający zdobyli średnio 23% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 56%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Wyznaczamy następny wyraz: $a_{n+1} = 2(n + 1)^2 + 2(n + 1) = 2n^2 + 4n + 2 + 2n + 2 = 2n^2 + 6n + 4$.
2.
Dodajemy dwa kolejne wyrazy: $a_n + a_{n+1} = 2n^2 + 2n + 2n^2 + 6n + 4 = 4n^2 + 8n + 4$.
3.
Rozpoznajemy kwadrat sumy: $4n^2 + 8n + 4 = (2n + 2)^2$.
4.
Dla $n \ge 1$ liczba $2n + 2$ jest naturalna, więc suma dwóch kolejnych wyrazów jest kwadratem liczby naturalnej.

Odpowiedź: $a_n + a_{n+1} = 4n^2 + 8n + 4 = (2n + 2)^2$, a $2n + 2$ jest liczbą naturalną.

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 30

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Dowody (podzielność, nierówności)” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Dowody (podzielność, nierówności)

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 7, matura maj 2026Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n2 + 21n jest podzielna przez 14.2 pkt Zadanie 21, matura maj 2026Dany jest trójkąt KLM, w którym |KM| = a oraz |LM| = b. Dwusieczna kąta LMK przecina bok KL w punkcie N (zobac…2 pkt Zadanie 5, matura marzec 2026Wykaż, że liczba 25014 - 24994 jest podzielna przez 10\,000.2 pkt Zadanie 21, matura marzec 2026Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD, w którym |AB| = 2 |CD|. Przekątna AC tego trapezu je…3 pkt Zadanie 5, matura maj 2025Wykaż, że dla każdej nieparzystej liczby naturalnej n liczba 3n2 + 2n + 7 jest podzielna przez 4.2 pkt Zadanie 3, matura grudzień 2024Wykaż, że liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.2 pkt

← Zadanie 29 Zadanie 31 →

Źródło treści: arkusz CKE f15-1605-arkusz.pdf (strona 16), zasady oceniania: f15-1605-zasady.pdf.