Zadanie 22: matura z matematyki grudzień 2022

Poziom podstawowy · arkusz diagnostyczny · 1 pkt · zadanie zamknięte · Planimetria · Czworokąty, podobieństwo, Tales

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $O$. Ponadto $|AD| = 4$ i $|OD| = |BC| = 6$. Kąty $ODA$ i $BCO$ są proste (zobacz rysunek).
Długość odcinka $OC$ jest równa

A $9$
B $8$
C $2\sqrt{13}$
D $3\sqrt{13}$

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 22 z arkusza CKE, grudzień 2022 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $9$

Schemat: Trójkąty podobne (skala, boki, stosunek pól i obwodów) · pojawił się w 16 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 20, matura maj 2025, zadanie 22, matura maj 2023, zadanie 18, matura marzec 2022

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Trójkąty $ADO$ i $BCO$ są prostokątne (kąty proste przy $D$ i $C$) i mają równe kąty wierzchołkowe przy $O$, więc są podobne (cecha kkk).
2.
Odpowiadają sobie: $D \leftrightarrow C$, $A \leftrightarrow B$, $O \leftrightarrow O$, więc $\dfrac{|AD|}{|BC|} = \dfrac{|OD|}{|OC|}$.
3.
Podstawiamy: $\dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{|OC|}$, stąd $|OC| = 9$.
4.
Sprawdzenie: $|AO| = \sqrt{16 + 36} = 2\sqrt{13}$, więc $|BO| = \dfrac{3}{2} \cdot 2\sqrt{13} = 3\sqrt{13}$ i $|OC| = \sqrt{117 - 36} = 9$.
5.
Odpowiedź A: $9$.

Odpowiedź: $9$

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Czworokąty, podobieństwo, Tales” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Czworokąty, podobieństwo, Tales

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 27, matura marzec 2026Pole powierzchni całkowitej walca C1 jest równe 12 , a objętość tego walca jest równa 4 . Walec C2 jest podobn…1 pkt Zadanie 21, matura maj 2024Dany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 120 . Pole tego równoległobo…1 pkt Zadanie 23, matura grudzień 2023W rombie ABCD dłuższa przekątna AC ma długość 12 i tworzy z bokiem AB kąt o mierze 30 (zobacz rysunek). Pole r…1 pkt Zadanie 20, matura maj 2023W rombie o boku długości 6 2 kąt rozwarty ma miarę 150 . Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy1 pkt Zadanie 18, matura marzec 2022Odcinki AD i BC przecinają się w punkcie O. W trójkątach ABO i ODC zachodzą związki: |AO| = 5, |BO| = 3, |OC| …1 pkt Zadanie 23, matura marzec 2022Dane są dwa trójkąty podobne ABC i KLM o polach równych – odpowiednio – P oraz 2P. Obwód trójkąta ABC jest rów…1 pkt

← Zadanie 21 Zadanie 23 →

Źródło treści: arkusz CKE 2212-arkusz.pdf (strona 21), zasady oceniania: .