Zadanie 23: matura z matematyki grudzień 2022

Poziom podstawowy · arkusz diagnostyczny · 2 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Czworokąty, podobieństwo, Tales

Zapisz obliczenia.

Przekątne równoległoboku $ABCD$ mają długości: $|AC| = 16$ oraz $|BD| = 12$. Wierzchołki $E$, $F$, $G$ oraz $H$ rombu $EFGH$ leżą na bokach równoległoboku $ABCD$ (zobacz rysunek: $E$ na $AD$, $F$ na $AB$, $G$ na $BC$, $H$ na $CD$). Boki tego rombu są równoległe do przekątnych równoległoboku.
Oblicz długość boku rombu $EFGH$.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 23 z arkusza CKE, grudzień 2022 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $\dfrac{48}{7}$

Schemat: Twierdzenie Talesa (odcinek równoległy do boku) · pojawił się w 6 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 20, matura maj 2026, zadanie 15, matura marzec 2020, formuła 2015, zadanie 16, matura maj 2017, formuła 2015

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Bok $EF$ jest równoległy do $BD$, a bok $FG$ do $AC$. Oznaczamy $|AF| = t \cdot |AB|$, gdzie $0 < t < 1$; wtedy $|FB| = (1 - t)|AB|$.
2.
Trójkąt $AFE$ jest podobny do trójkąta $ABD$ (bo $EF \parallel BD$) w skali $t$, więc $|EF| = 12t$.
3.
Trójkąt $BFG$ jest podobny do trójkąta $BAC$ (bo $FG \parallel AC$) w skali $1 - t$, więc $|FG| = 16(1 - t)$.
4.
W rombie $|EF| = |FG|$: $12t = 16 - 16t$, czyli $28t = 16$ i $t = \dfrac{4}{7}$. Bok rombu: $12 \cdot \dfrac{4}{7} = \dfrac{48}{7}$.
5.
Sprawdzenie: $16 \cdot \left(1 - \dfrac{4}{7}\right) = 16 \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{48}{7}$.
6.
Bok rombu $EFGH$ ma długość $\dfrac{48}{7}$.

Odpowiedź: $\dfrac{48}{7}$

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Czworokąty, podobieństwo, Tales” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Czworokąty, podobieństwo, Tales

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 27, matura marzec 2026Pole powierzchni całkowitej walca C1 jest równe 12 , a objętość tego walca jest równa 4 . Walec C2 jest podobn…1 pkt Zadanie 21, matura maj 2024Dany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 120 . Pole tego równoległobo…1 pkt Zadanie 23, matura grudzień 2023W rombie ABCD dłuższa przekątna AC ma długość 12 i tworzy z bokiem AB kąt o mierze 30 (zobacz rysunek). Pole r…1 pkt Zadanie 20, matura maj 2023W rombie o boku długości 6 2 kąt rozwarty ma miarę 150 . Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy1 pkt Zadanie 18, matura marzec 2022Odcinki AD i BC przecinają się w punkcie O. W trójkątach ABO i ODC zachodzą związki: |AO| = 5, |BO| = 3, |OC| …1 pkt Zadanie 23, matura marzec 2022Dane są dwa trójkąty podobne ABC i KLM o polach równych – odpowiednio – P oraz 2P. Obwód trójkąta ABC jest rów…1 pkt

← Zadanie 22 Zadanie 24 →

Źródło treści: arkusz CKE 2212-arkusz.pdf (strona 22), zasady oceniania: .