Zadanie 24: matura z matematyki grudzień 2022

Poziom podstawowy · arkusz diagnostyczny · 2 pkt · zadanie otwarte · Trygonometria · Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Zapisz obliczenia.

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AC| = 4$, $|AB| = 3$, $\cos \angle BAC = \dfrac{4}{5}$.
Oblicz pole trójkąta $ABC$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $\dfrac{18}{5} = 3{,}6$

Schemat: Pole figury z kątem lub funkcją trygonometryczną (½·a·b·sin γ) · pojawił się w 6 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 21, matura maj 2025, zadanie 18, matura maj 2021, formuła 2015, zadanie 17, matura maj 2015, formuła 2015

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Kąt $BAC$ jest kątem trójkąta, więc $\sin \angle BAC > 0$.
2.
Z jedynki trygonometrycznej: $\sin^2 \angle BAC = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}$, więc $\sin \angle BAC = \dfrac{3}{5}$.
3.
Pole trójkąta: $P = \dfrac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \sin \angle BAC = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{18}{5}$.
4.
Sprawdzenie: wysokość z $B$ na $AC$ to $3 \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{5}$, a $\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot \dfrac{9}{5} = \dfrac{18}{5}$.
5.
Pole trójkąta $ABC$ jest równe $\dfrac{18}{5} = 3{,}6$.

Odpowiedź: $\dfrac{18}{5} = 3{,}6$

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Funkcje trygonometryczne kąta ostrego” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Źródło treści: arkusz CKE 2212-arkusz.pdf (strona 23), zasady oceniania: .