Zadanie 18: matura z matematyki marzec 2022

Poziom podstawowy · arkusz pokazowy · 1 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Czworokąty, podobieństwo, Tales

Zapisz obliczenia.

Odcinki $AD$ i $BC$ przecinają się w punkcie $O$. W trójkątach $ABO$ i $ODC$ zachodzą związki: $|AO| = 5$, $|BO| = 3$, $|OC| = 10$, $|\sphericalangle OAB| = |\sphericalangle OCD|$ (zobacz rysunek). Oblicz długość boku $OD$ trójkąta $ODC$.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 18 z arkusza CKE, marzec 2022 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $|OD| = 6$

Schemat: Trójkąty podobne (skala, boki, stosunek pól i obwodów) · pojawił się w 16 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 20, matura maj 2025, zadanie 22, matura maj 2023, zadanie 22, matura grudzień 2022

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Kąty $AOB$ i $COD$ są wierzchołkowe, więc są równe. Z założenia $|\sphericalangle OAB| = |\sphericalangle OCD|$.
2.
Trzecie kąty też są równe (suma kątów w trójkącie), więc trójkąty $ABO$ i $CDO$ są podobne (cecha kkk), przy czym $A \leftrightarrow C$, $B \leftrightarrow D$.
3.
Odpowiadające boki są proporcjonalne: $\dfrac{|OC|}{|OA|} = \dfrac{|OD|}{|OB|}$, czyli $\dfrac{10}{5} = \dfrac{|OD|}{3}$.
4.
Stąd $|OD| = 2 \cdot 3 = 6$.
5.
$|OD| = 6$.

Odpowiedź: $|OD| = 6$

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 18

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Czworokąty, podobieństwo, Tales” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Czworokąty, podobieństwo, Tales

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 27, matura marzec 2026Pole powierzchni całkowitej walca C1 jest równe 12 , a objętość tego walca jest równa 4 . Walec C2 jest podobn…1 pkt Zadanie 21, matura maj 2024Dany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 120 . Pole tego równoległobo…1 pkt Zadanie 23, matura grudzień 2023W rombie ABCD dłuższa przekątna AC ma długość 12 i tworzy z bokiem AB kąt o mierze 30 (zobacz rysunek). Pole r…1 pkt Zadanie 20, matura maj 2023W rombie o boku długości 6 2 kąt rozwarty ma miarę 150 . Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy1 pkt Zadanie 21, matura grudzień 2022Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 8. Z wierzchołka A zakreślono koło o promieniu równym długości boku kwa…1 pkt Zadanie 22, matura grudzień 2022Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie O. Ponadto |AD| = 4 i |OD| = |BC| = 6. Kąty ODA i BCO są proste (zoba…1 pkt

← Zadanie 17 Zadanie 19 →

Źródło treści: arkusz CKE 2203-arkusz.pdf (strona 17), zasady oceniania: 2203-zasady.pdf.