Zadanie 30: matura z matematyki sierpień 2012, stara formuła

Poziom podstawowy · termin poprawkowy · 2 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Czworokąty, podobieństwo, Tales

Dany jest równoległobok $ABCD$. Na przedłużeniu przekątnej $AC$ wybrano punkt $E$ tak, że $|CE| = \dfrac{1}{2}|AC|$ (zobacz rysunek). Uzasadnij, że pole równoległoboku $ABCD$ jest cztery razy większe od pola trójkąta $DCE$.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 30 z arkusza CKE, sierpień 2012 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $P_{DCE} = \dfrac{1}{2}P_{ACD} = \dfrac{1}{4}P_{ABCD}$

Schemat: Dowód geometryczny w czworokącie · pojawił się w 5 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 29, matura maj 2016, formuła 2015, zadanie 29, matura maj 2016, stara formuła, zadanie 28, matura maj 2015, formuła 2015

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Przekątna $AC$ dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty, więc $P_{ACD} = \dfrac{1}{2}P_{ABCD}$.
2.
Trójkąty $ACD$ i $DCE$ mają podstawy $AC$ i $CE$ leżące na jednej prostej i wspólny wierzchołek $D$, więc mają tę samą wysokość $h$ opuszczoną z $D$ na tę prostą.
3.
Stąd $P_{DCE} = \dfrac{1}{2}|CE| \cdot h = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}|AC| \cdot h = \dfrac{1}{2}P_{ACD}$.
4.
Zatem $P_{DCE} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}P_{ABCD} = \dfrac{1}{4}P_{ABCD}$.
5.
Pole równoległoboku jest cztery razy większe od pola trójkąta $DCE$.

Odpowiedź: $P_{DCE} = \dfrac{1}{2}P_{ACD} = \dfrac{1}{4}P_{ABCD}$

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Czworokąty, podobieństwo, Tales” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Czworokąty, podobieństwo, Tales

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 27, matura marzec 2026Pole powierzchni całkowitej walca C1 jest równe 12 , a objętość tego walca jest równa 4 . Walec C2 jest podobn…1 pkt Zadanie 21, matura maj 2024Dany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 120 . Pole tego równoległobo…1 pkt Zadanie 23, matura grudzień 2023W rombie ABCD dłuższa przekątna AC ma długość 12 i tworzy z bokiem AB kąt o mierze 30 (zobacz rysunek). Pole r…1 pkt Zadanie 20, matura maj 2023W rombie o boku długości 6 2 kąt rozwarty ma miarę 150 . Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy1 pkt Zadanie 21, matura grudzień 2022Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 8. Z wierzchołka A zakreślono koło o promieniu równym długości boku kwa…1 pkt Zadanie 22, matura grudzień 2022Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie O. Ponadto |AD| = 4 i |OD| = |BC| = 6. Kąty ODA i BCO są proste (zoba…1 pkt

← Zadanie 29 Zadanie 31 →

Źródło treści: arkusz CKE s-1208-arkusz.pdf (strona 12), zasady oceniania: s-1208-zasady.pdf.