Zadanie 28: matura z matematyki maj 2015, formuła 2015

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Czworokąty, podobieństwo, Tales

Dany jest kwadrat $ABCD$. Przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $E$. Punkty $K$ i $M$ są środkami odcinków – odpowiednio – $AE$ i $EC$. Punkty $L$ i $N$ leżą na przekątnej $BD$ tak, że $|BL| = \dfrac{1}{3}|BE|$ i $|DN| = \dfrac{1}{3}|DE|$ (zobacz rysunek). Wykaż, że stosunek pola czworokąta $KLMN$ do pola kwadratu $ABCD$ jest równy $1 : 3$.

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 28 z arkusza CKE, maj 2015 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $P_{KLMN} = \dfrac{1}{2}|KM| \cdot |NL| = \dfrac{d^2}{6}$ oraz $P_{ABCD} = \dfrac{d^2}{2}$, więc stosunek pól jest równy $1 : 3$.

Schemat: Dowód geometryczny w czworokącie · pojawił się w 5 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 29, matura maj 2016, formuła 2015, zadanie 29, matura maj 2016, stara formuła, zadanie 30, matura sierpień 2012, stara formuła

Na maturze zdający zdobyli średnio 32% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 55%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Przekątne kwadratu są równe, prostopadłe i dzielą się na połowy. Niech $|AC| = |BD| = d$; wtedy $|AE| = |EC| = |BE| = |DE| = \dfrac{d}{2}$, a pole kwadratu to $P_{ABCD} = \dfrac{1}{2}d^2$.
2.
$K$ i $M$ to środki $AE$ i $EC$, więc $|KE| = |EM| = \dfrac{d}{4}$ i $|KM| = \dfrac{d}{2}$.
3.
$|BL| = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{d}{2}$, więc $|LE| = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{d}{2} = \dfrac{d}{3}$; analogicznie $|NE| = \dfrac{d}{3}$, zatem $|NL| = \dfrac{2d}{3}$.
4.
Przekątne $KM$ i $NL$ czworokąta $KLMN$ leżą na prostopadłych przekątnych kwadratu, więc $P_{KLMN} = \dfrac{1}{2}|KM| \cdot |NL| = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{d}{2} \cdot \dfrac{2d}{3} = \dfrac{d^2}{6}$.
5.
Stosunek pól: $\dfrac{P_{KLMN}}{P_{ABCD}} = \dfrac{d^2/6}{d^2/2} = \dfrac{1}{3}$, co należało wykazać.

Odpowiedź: $P_{KLMN} = \dfrac{1}{2}|KM| \cdot |NL| = \dfrac{d^2}{6}$ oraz $P_{ABCD} = \dfrac{d^2}{2}$, więc stosunek pól jest równy $1 : 3$.

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Czworokąty, podobieństwo, Tales” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Czworokąty, podobieństwo, Tales

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 27, matura marzec 2026Pole powierzchni całkowitej walca C1 jest równe 12 , a objętość tego walca jest równa 4 . Walec C2 jest podobn…1 pkt Zadanie 21, matura maj 2024Dany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 120 . Pole tego równoległobo…1 pkt Zadanie 23, matura grudzień 2023W rombie ABCD dłuższa przekątna AC ma długość 12 i tworzy z bokiem AB kąt o mierze 30 (zobacz rysunek). Pole r…1 pkt Zadanie 20, matura maj 2023W rombie o boku długości 6 2 kąt rozwarty ma miarę 150 . Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy1 pkt Zadanie 21, matura grudzień 2022Dany jest kwadrat ABCD o boku długości 8. Z wierzchołka A zakreślono koło o promieniu równym długości boku kwa…1 pkt Zadanie 22, matura grudzień 2022Odcinki AC i BD przecinają się w punkcie O. Ponadto |AD| = 4 i |OD| = |BC| = 6. Kąty ODA i BCO są proste (zoba…1 pkt

← Zadanie 27 Zadanie 29 →

Źródło treści: arkusz CKE f15-1505-arkusz.pdf (strona 14), zasady oceniania: f15-1505-zasady.pdf.