Zadanie 29: matura z matematyki maj 2016, stara formuła
Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Planimetria · Czworokąty, podobieństwo, Tales
Teoria: Czworokąty, podobieństwo, Tales
Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$. Na przyprostokątnych $AC$ i $AB$ tego trójkąta obrano odpowiednio punkty $D$ i $G$. Na przeciwprostokątnej $BC$ wyznaczono punkty $E$ i $F$ takie, że $|\angle DEC| = |\angle BGF| = 90^\circ$ (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt $CDE$ jest podobny do trójkąta $FBG$.
Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:
Pokaż odpowiedź
Schemat: Dowód geometryczny w czworokącie · pojawił się w 5 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 29, matura maj 2016, formuła 2015, zadanie 28, matura maj 2015, formuła 2015, zadanie 30, matura sierpień 2012, stara formuła
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Oznaczmy $\gamma = |\angle ACB|$. Trójkąt $ABC$ jest prostokątny z kątem prostym przy $A$, więc $|\angle ABC| = 90^\circ - \gamma$.
- 2.W trójkącie $CDE$ kąt przy $E$ jest prosty, a kąt przy $C$ to kąt $ACB$, czyli $\gamma$. Zatem $|\angle CDE| = 90^\circ - \gamma$.
- 3.W trójkącie $FBG$ kąt przy $G$ jest prosty, a kąt przy $B$ to kąt $ABC$, czyli $90^\circ - \gamma$. Zatem $|\angle GFB| = \gamma$.
- 4.Trójkąty $CDE$ i $FBG$ mają więc kąty o tych samych miarach: $90^\circ$, $\gamma$, $90^\circ - \gamma$ (wierzchołki odpowiadają sobie: $E \leftrightarrow G$, $C \leftrightarrow F$, $D \leftrightarrow B$).
- 5.Na mocy cechy kąt–kąt trójkąt $CDE$ jest podobny do trójkąta $FBG$, co kończy dowód.
Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE
W aplikacji każde zadanie z tematu „Czworokąty, podobieństwo, Tales” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE s-1605-arkusz.pdf (strona 15), zasady oceniania: s-1605-zasady.pdf.