Zadanie 28: matura z matematyki maj 2016, stara formuła

Poziom podstawowy · termin główny · 2 pkt · zadanie otwarte · Trygonometria · Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Kąt $\alpha$ jest ostry i $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \dfrac{3}{2}$. Oblicz wartość wyrażenia $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $\sin \alpha \cdot \cos \alpha = \dfrac{1}{4}$

Schemat: Wartość wyrażenia trygonometrycznego (jedynka, tożsamości, kąty dopełniające) · pojawił się w 17 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 17, matura marzec 2026, zadanie 19, matura maj 2024, zadanie 19, matura maj 2023

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Rozwijamy kwadrat sumy: $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha$.
2.
Z jedynki trygonometrycznej $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, więc wyrażenie jest równe $1 + 2\sin \alpha \cos \alpha$.
3.
Z warunku: $1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = \dfrac{3}{2}$, czyli $2\sin \alpha \cos \alpha = \dfrac{1}{2}$.
4.
$\sin \alpha \cdot \cos \alpha = \dfrac{1}{4}$.

Odpowiedź: $\sin \alpha \cdot \cos \alpha = \dfrac{1}{4}$

Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Funkcje trygonometryczne kąta ostrego” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Źródło treści: arkusz CKE s-1605-arkusz.pdf (strona 14), zasady oceniania: s-1605-zasady.pdf.