Punkty i odcinki w układzie współrzędnych
Matura podstawowa z matematyki · Geometria analityczna · tier C · 32 zadania z arkuszy CKE
W układzie współrzędnych długość i środek odcinka liczymy wprost ze współrzędnych końców.
Wzory w skrócie
- $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
- Środek: $S = \left(\dfrac{x_A + x_B}{2},\ \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$
- Jeśli znasz środek $S$ i koniec $A$, to $B = (2x_S - x_A,\ 2y_S - y_A)$
Jak rozpoznać zadanie
Długość to Pitagoras w trójkącie o przyprostokątnych $|\Delta x|$ i $|\Delta y|$, narysuj go.
Przykład z rozwiązaniem
Punkt $S = (-5,\ -3)$ jest środkiem odcinka $AB$, w którym $A = (-6,\ 5)$. Punkt $B$ ma współrzędne
- A $B = (-4,\ -11)$
- B $B = (1,\ -8)$
- C $B = (-\frac{11}{2},\ 1)$
- D $B = (-7,\ 13)$
- 1.Ze wzoru na środek odcinka: $x_S = \dfrac{x_A + x_B}{2}$, więc $x_B = 2x_S - x_A$ (tak samo dla $y$).
- 2.$x_B = 2\cdot \left(-5\right) - \left(-6\right) = -4$.
- 3.$y_B = 2\cdot \left(-3\right) - 5 = -11$. Zatem $B = (-4,\ -11)$.
Odpowiedź: A. $B = (-4,\ -11)$
W aplikacji dostajesz takie zadania z innymi liczbami i wpisujesz wynik każdego kroku.
Typowe błędy
Te pomyłki prowadzą do błędnych odpowiedzi w zadaniach zamkniętych z tego tematu:
- Odwrócono role punktów: to B, dla którego A byłby środkiem odcinka SB.
- Różnica współrzędnych to przesunięcie z A do S; B leży o tyle samo dalej, za punktem S.
- To środek odcinka AS, a szukamy końca B, dla którego S jest środkiem.
- Zapomniano o pierwiastku.
Na maturze
5 z 10arkuszy z tym tematem
8zadań w arkuszach formuły 2023
0,8pkt średnio na arkusz
Ctier · 1,7% punktów
Policzone z 10 arkuszy CKE formuły 2023 z lat 2022–2026 (tej formuły dotyczy matura 2027). Razem 8 pkt z tego tematu. Jak liczymy tier listę.
Co trzeba umieć wcześniej
Ten temat jest potrzebny do
Lekcja z teorią, zadania krok po kroku z podpowiedziami i powtórka, zanim temat wyleci z głowy.
Zadania z arkuszy CKE z tego tematu
32 zadania z oficjalnych matur, każde z odpowiedzią i rozwiązaniem krok po kroku.
Formuła 2023 · 8 zadań
Zadanie 24.1, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (0, -3), B = (2, 1) oraz C = (0, 2) są wierzchołkami …1 pktZadanie 25, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest okrąg O o środku w punkcie S = (1, -3) i o promieniu 5…1 pktZadanie 22, matura maj 2025W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest kwadrat ABCD, w którym A = (4, -1). Przekątne tego kwa…1 pktZadanie 24, matura maj 2025W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkt P = (0, 0) leży na okręgu O o środku w punkcie S = (2, 4).…1 pktZadanie 21, matura grudzień 2024W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (-2, -1) oraz C = (3, 4) są przeciwległymi wierzchołk…1 pktZadanie 23, matura grudzień 2024W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są cztery okręgi: o1, o2, o3, o4, o równaniach: o1 (x - 1)2…1 pktZadanie 21, matura grudzień 2023W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty K = (-7, -2) oraz L = (-1, 4) są wierzchołkami trójkąta r…1 pktZadanie 20, matura marzec 2022W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest kwadrat ABCD. Wierzchołki A = (-2, 1) i C = (4, 5) są …1 pkt
Formuła 2015 · 13 zadań
Zadanie 25, matura maj 2024, formuła 2015Na prostej l o współczynniku kierunkowym 1 2 leżą punkty A= (2, −4) oraz B= (0, b). Wtedy liczba b jest równa …1 pktZadanie 24, matura maj 2023, formuła 2015Dane są punkty K = (-3, -7) oraz S = (5, 3). Punkt S jest środkiem odcinka KL. Wtedy punkt L ma współrzędne1 pktZadanie 23, matura maj 2022, formuła 2015Punkty A = (4, -10) i B = (a, 2) są końcami odcinka AB. Pierwsza współrzędna środka odcinka AB jest równa (-12…1 pktZadanie 24, matura maj 2022, formuła 2015Punkty A = (-4, 4) i B = (4, 0) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Przekątna tego kwadratu ma długość1 pktZadanie 25, matura maj 2021, formuła 2015Punkt A = (3, -5) jest wierzchołkiem kwadratu ABCD, a punkt M = (1, 3) jest punktem przecięcia się przekątnych…1 pktZadanie 35, matura maj 2021, formuła 2015Punkty A = (-20, 12) i B = (7, 3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC| = |BC|. Wierzch…5 pktZadanie 18, matura marzec 2021, formuła 2015Końcami odcinka PR są punkty P = (4, 7) i R = (-2, -3). Odległość punktu T = (3, -1) od środka odcinka PR jest…1 pktZadanie 20, matura czerwiec 2020, formuła 2015Punkt B jest obrazem punktu A = (-3, 5) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka AB …1 pktZadanie 17, matura marzec 2020, formuła 2015Punkty B = (-2, 4) i C = (5, 1) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe1 pktZadanie 20, matura maj 2019, formuła 2015Dane są punkty o współrzędnych A = (-2, 5) oraz B = (4, -1). Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB jes…1 pktZadanie 18, matura maj 2018, formuła 2015Punkt K = (2, 2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego KLM, w którym |KM| = |LM|. Odcinek MN jest wysoko…1 pktZadanie 21, matura maj 2016, formuła 2015W układzie współrzędnych dane są punkty A = (a, 6) oraz B = (7, b). Środkiem odcinka AB jest punkt M = (3, 4).…1 pktZadanie 20, matura maj 2015, formuła 2015Dane są punkty M = (-2, 1) i N = (-1, 3). Punkt K jest środkiem odcinka MN. Obrazem punktu K w symetrii względ…1 pkt
Stara formuła · 11 zadań
Zadanie 20, matura czerwiec 2020, stara formułaPunkt B jest obrazem punktu A = (-3, 5) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka AB …1 pktZadanie 20, matura maj 2019, stara formułaDane są punkty o współrzędnych A = (-2, 5) oraz B = (4, -1). Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku AB jes…1 pktZadanie 21, matura maj 2016, stara formułaW układzie współrzędnych dane są punkty A = (a, 6) oraz B = (7, b). Środkiem odcinka AB jest punkt M = (3, 4).…1 pktZadanie 19, matura maj 2015, stara formułaDane są punkty: P = (-2, -2), Q = (3, 3). Odległość punktu P od punktu Q jest równa1 pktZadanie 20, matura maj 2015, stara formułaPunkt K = (-4, 4) jest końcem odcinka KL, punkt L leży na osi Ox, a środek S tego odcinka leży na osi Oy. Wyni…1 pktZadanie 17, matura maj 2013, stara formułaPunkty A = (-1, 2) i B = (5, -2) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami rombu ABCD. Obwód tego rombu jest równy1 pktZadanie 18, matura maj 2013, stara formułaPunkt S = (-4, 7) jest środkiem odcinka PQ, gdzie Q = (17, 12). Zatem punkt P ma współrzędne1 pktZadanie 20, matura sierpień 2012, stara formułaPunkty B = (-2, 4) i C = (5, 1) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe1 pktZadanie 32, matura sierpień 2012, stara formułaDany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC| = |BC| oraz A = (2, 1) i C = (1, 9). Podstawa AB tego trójk…4 pktZadanie 19, matura czerwiec 2012, stara formułaPunkt S = (2, 7) jest środkiem odcinka AB, w którym A = (-1, 3). Punkt B ma współrzędne:1 pktZadanie 22, matura maj 2010, stara formułaPunkty A = (-5, 2) i B = (3, -2) są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Obwód tego trójkąta jest równy1 pkt