matmaradar
Egzamin ósmoklasistyMaturaNaukaZadania CKETematyMoje konto
Zaloguj sięZacznij za darmoZacznij

Zadanie 35: matura z matematyki maj 2021, formuła 2015

Poziom podstawowy · termin główny · 5 pkt · zadanie otwarte · Geometria analityczna · Punkty i odcinki w układzie współrzędnych

Teoria: Punkty i odcinki w układzie współrzędnych

Punkty $A = (-20, 12)$ i $B = (7, 3)$ są wierzchołkami trójkąta równoramiennego $ABC$, w którym $|AC| = |BC|$. Wierzchołek $C$ leży na osi $Oy$ układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka $C$ oraz obwód tego trójkąta.

Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Zadanie 35 z arkusza CKE, maj 2021 (oryginał)Zadanie 35 z arkusza CKE, maj 2021 (oryginał)
Pokaż odpowiedź
Odpowiedź: $C = (0, 27)$, obwód trójkąta $ABC$ jest równy $50 + 9\sqrt{10}$.

Schemat: Współrzędne wierzchołka trójkąta z warunków (zadanie otwarte) · pojawił się w 2 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 32, matura sierpień 2012, stara formuła

Na maturze zdający zdobyli średnio 29% punktów za to zadanie (trudne). Średni wynik całego arkusza: 56%. Sprawozdanie CKE

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie
  1. 1.
    Punkt $C$ leży na osi $Oy$, więc $C = (0, y)$.
  2. 2.
    Warunek $|AC| = |BC|$ zapisujemy dla kwadratów odległości: $20^{2} + (y - 12)^{2} = 7^{2} + (y - 3)^{2}$.
  3. 3.
    Rozwijamy: $400 + y^{2} - 24y + 144 = 49 + y^{2} - 6y + 9$, czyli $544 - 24y = 58 - 6y$, skąd $18y = 486$ i $y = 27$. Zatem $C = (0, 27)$.
  4. 4.
    Długości boków: $|AC| = \sqrt{400 + 225} = 25$, $|BC| = \sqrt{49 + 576} = 25$, $|AB| = \sqrt{27^{2} + 9^{2}} = \sqrt{810} = 9\sqrt{10}$.
  5. 5.
    Obwód: $25 + 25 + 9\sqrt{10} = 50 + 9\sqrt{10}$.
  6. 6.
    Odpowiedź: $C = (0, 27)$, obwód $50 + 9\sqrt{10}$.
Odpowiedź: $C = (0, 27)$, obwód trójkąta $ABC$ jest równy $50 + 9\sqrt{10}$.
Rozwiązanie wzorcowe z zasad oceniania CKE
Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 35Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 35Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 35Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 35Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 35Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 35Przykładowe rozwiązanie CKE do zadania 35
Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Punkty i odcinki w układzie współrzędnych” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozęLekcja: Punkty i odcinki w układzie współrzędnych

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 24.1, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (0, -3), B = (2, 1) oraz C = (0, 2) są wierzchołkami …1 pktZadanie 25, matura maj 2026W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest okrąg O o środku w punkcie S = (1, -3) i o promieniu 5…1 pktZadanie 22, matura maj 2025W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dany jest kwadrat ABCD, w którym A = (4, -1). Przekątne tego kwa…1 pktZadanie 24, matura maj 2025W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkt P = (0, 0) leży na okręgu O o środku w punkcie S = (2, 4).…1 pktZadanie 21, matura grudzień 2024W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) punkty A = (-2, -1) oraz C = (3, 4) są przeciwległymi wierzchołk…1 pktZadanie 23, matura grudzień 2024W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) dane są cztery okręgi: o1, o2, o3, o4, o równaniach: o1 (x - 1)2…1 pkt
← Zadanie 34Cały arkusz

Źródło treści: arkusz CKE f15-2105-arkusz.pdf (strona 22), zasady oceniania: f15-2105-zasady.pdf.