Zadanie 32: matura z matematyki sierpień 2012, stara formuła
Poziom podstawowy · termin poprawkowy · 4 pkt · zadanie otwarte · Geometria analityczna · Punkty i odcinki w układzie współrzędnych
Teoria: Punkty i odcinki w układzie współrzędnych
Dany jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC| = |BC|$ oraz $A = (2, 1)$ i $C = (1, 9)$. Podstawa $AB$ tego trójkąta jest zawarta w prostej $y = \dfrac{1}{2}x$. Oblicz współrzędne wierzchołka $B$.
Zobacz zadanie w oryginalnym arkuszu
Pokaż odpowiedź
Schemat: Współrzędne wierzchołka trójkąta z warunków (zadanie otwarte) · pojawił się w 2 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 35, matura maj 2021, formuła 2015
Rozwiązanie krok po kroku
- 1.Punkt $B$ leży na prostej $y = \dfrac{1}{2}x$, więc $B = \left(x, \dfrac{1}{2}x\right)$.
- 2.$|AC|^2 = (1 - 2)^2 + (9 - 1)^2 = 1 + 64 = 65$ oraz $|BC|^2 = (x - 1)^2 + \left(\dfrac{1}{2}x - 9\right)^2$.
- 3.Z warunku $|BC|^2 = 65$: $x^2 - 2x + 1 + \dfrac{1}{4}x^2 - 9x + 81 = 65$, czyli $\dfrac{5}{4}x^2 - 11x + 17 = 0$, tj. $5x^2 - 44x + 68 = 0$.
- 4.$\Delta = 44^2 - 4 \cdot 5 \cdot 68 = 1936 - 1360 = 576$, $\sqrt{\Delta} = 24$, więc $x = \dfrac{44 - 24}{10} = 2$ lub $x = \dfrac{44 + 24}{10} = \dfrac{34}{5}$.
- 5.Dla $x = 2$ dostajemy punkt $A$, więc $B$ odpowiada $x = \dfrac{34}{5}$, a wtedy $y = \dfrac{17}{5}$.
- 6.$B = \left(\dfrac{34}{5}, \dfrac{17}{5}\right)$.
W aplikacji każde zadanie z tematu „Punkty i odcinki w układzie współrzędnych” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.
Podobne zadania z innych arkuszy
Źródło treści: arkusz CKE s-1208-arkusz.pdf (strona 14), zasady oceniania: s-1208-zasady.pdf.