Zadanie 33: matura z matematyki sierpień 2012, stara formuła

Poziom podstawowy · termin poprawkowy · 4 pkt · zadanie otwarte · Stereometria · Przekątne i kąty w bryłach

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ i wierzchołku $S$ trójkąt $ACS$ jest równoboczny i ma bok długości $8$. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).

Rysunek w oryginalnym arkuszu CKE:

Zadanie 33 z arkusza CKE, sierpień 2012 (oryginał)

Pokaż odpowiedź

Odpowiedź: $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{42}}{7}$

Schemat: Kąt nachylenia przekątnej, krawędzi lub ściany do podstawy · pojawił się w 14 arkuszach. Inne zadania tego typu: zadanie 25.2, matura maj 2024, zadanie 25, matura maj 2023, zadanie 30.2, matura grudzień 2022

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

1.
Przekątna podstawy ma długość $|AC| = 8$, więc krawędź podstawy $a = \dfrac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$.
2.
Wysokość ostrosłupa $H$ to wysokość trójkąta równobocznego $ACS$: $H = \dfrac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$.
3.
Kąt $\alpha$ leży w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $H$ i $\dfrac{a}{2} = 2\sqrt{2}$ (od środka podstawy do środka krawędzi); przeciwprostokątną jest wysokość ściany bocznej $h$.
4.
$h^2 = H^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 = 48 + 8 = 56$, więc $h = 2\sqrt{14}$.
5.
$\sin\alpha = \dfrac{H}{h} = \dfrac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{14}} = \sqrt{\dfrac{12}{14}} = \sqrt{\dfrac{6}{7}} = \dfrac{\sqrt{42}}{7}$.
6.
$\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{42}}{7}$.

Odpowiedź: $\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{42}}{7}$

Chcesz rozwiązać takie zadanie samodzielnie, z podpowiedziami?

W aplikacji każde zadanie z tematu „Przekątne i kąty w bryłach” rozwiązujesz krok po kroku, a diagnoza pokaże, czego brakuje Ci do matury.

Zrób darmową diagnozę Lekcja: Przekątne i kąty w bryłach

Podobne zadania z innych arkuszy

Zadanie 25, matura marzec 2026Dany jest sześcian ABCDEFGH (zobacz rysunek). Pole trójkąta ACH jest równe 4 3. Długość krawędzi tego sześcian…1 pkt Zadanie 31, matura maj 2025Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź BC ma długość 4 oraz suma długości wszystkic…4 pkt Zadanie 30, matura grudzień 2024Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź AE jest 3 razy dłuższa od krawędzi AB, a sum…4 pkt Zadanie 25.1, matura maj 2024Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniast…1 pkt Zadanie 25.2, matura maj 2024Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniast…1 pkt Zadanie 25, matura grudzień 2023Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 5. Wewnątrz sześcianu znajduje się punkt P (zobacz rysunek). S…1 pkt

← Zadanie 32 Zadanie 34 →

Źródło treści: arkusz CKE s-1208-arkusz.pdf (strona 16), zasady oceniania: s-1208-zasady.pdf.